Summa

Utseende flytta till sidofältet dölj För andra betydelser, se Summa (olika betydelser).

Summa kallas resultatet av en addition. I uttrycket

1 + 2 = 3 {\displaystyle 1+2=3}

kallas talen 1 och 2 termer, medan talet 3 är summan av termerna 1 och 2.

Summasymbolen

Om ett större antal termer ska adderas, kan summan skrivas med hjälp av summasymbolen Σ; den stora bokstaven sigma i det grekiska alfabetet. Joseph Fourier införde sigma som symbol för summation 1820. Istället för att skriva det långa talet 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 {\displaystyle 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20} kan man använda summasymbolen samman med uteslutningstecken ( … {\displaystyle \ldots } ) och skriva:

∑ k = 1 20 k = 1 + 2 + 3 + … + 19 + 20 {\displaystyle \sum _{k=1}^{20}k=1+2+3+\ldots +19+20}

Detta utläses: "Summa k, då k går från ett till tjugo". Termen k efter sigmatecknet kallas summand. Vill man skriva summan av alla heltal från och med 7 till och med 23 skriver man:

∑ k = 7 23 k = 7 + 8 + 9 + … + 22 + 23 {\displaystyle \sum _{k=7}^{23}k=7+8+9+\ldots +22+23}

Vill man summera kvadraterna av alla tal från 1 till 5 skriver man:

∑ k = 1 5 k 2 = 1 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 {\displaystyle \sum _{k=1}^{5}k^{2}=1+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=1+4+9+16+25=55}

Ibland skrivs summationsgränserna vid sidan av summatecknet för att spara plats, exempelvis i bråk:

∑ k = 1 20 k 2 ∑ j = 1 20 j 3 {\displaystyle {\frac {\sum _{k=1}^{20}k^{2}}{\sum _{j=1}^{20}j^{3}}}}

Allmänt, givet en talföljd a k {\displaystyle a_{k}} som man vill summera från 1 till n skriver man:

∑ k = 1 n a k {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}\,}

Summan ovan kan även skrivas

∑ 1 ≤ k ≤ n a k {\displaystyle \sum _{1\leq k\leq n}a_{k}\,}

Rent allmänt används summatecknet för att summera en följd av tal a k {\displaystyle a_{k}} där k ska uppfylla något villkor P ( k ) {\displaystyle P(k)} , vilket skrivs

∑ P ( k ) a k {\displaystyle \sum _{P(k)}a_{k}\,}

Exempelvis kan P ( k ) {\displaystyle P(k)} vara villkoret att k är ett primtal eller ett udda tal.

Se även

Referenser

Noter

  1. ^ Concrete Mathematics, sid. 22

Externa länkar