Produkt (matematik)

Utseende flytta till sidofältet dölj

Produkt är resultatet av multiplikation för olika matematiska objekt.

Produkt av tal

Resultat av en multiplikation

Resultatet av en multiplikation kallas produkt. I uttrycket

a ⋅ b = c {\displaystyle a\cdot b=c}

a\cdot b=c

kallas a och b faktorer medan c kallas produkt.

Produkttecken

Om ett större antal faktorer ska multipliceras ihop, kan produkten ibland skrivas förkortat.

∏ k = a b f ( k ) {\displaystyle \prod _{k=a}^{b}f(k)}

\prod _{k=a}^{b}f(k)

betyder produkten av alla faktorer f(k) där k varierar från a till b. Tecknet ∏ är den grekiska bokstaven pi och kallas här produkttecken. Produktnotationen är särskilt användbar beträffande produkter med oändligt eller okänt antal faktorer.

Som exempel kan produkten

1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ . . . ⋅ n {\displaystyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot ...\cdot n}

1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot ...\cdot n

det vill säga n-fakultet, skrivas

n ! = ∏ x = 1 n x {\displaystyle n!=\prod _{x=1}^{n}x}

n!=\prod _{x=1}^{n}x

Produkt av vektorer

Vektorer kan multipliceras till skalärprodukter och vektorprodukter (till exempel en kryssprodukt). Inom funktionalanalysen kan ett funktionsrum definiera en inre produkt och en yttre produkt.

Cartesisk produkt

Produkten (även kallad den cartesiska produkten) av två mängder A {\displaystyle A} $A$ och B {\displaystyle B} $B$ är mängden av alla ordnade par ( a {\displaystyle a} $a$ , b {\displaystyle b} $b$ ) vars första element a {\displaystyle a} $a$ finns i A {\displaystyle A} $A$ och vars andra element b {\displaystyle b} $b$ finns i B {\displaystyle B} $B$ . Produkten av A {\displaystyle A} $A$ och B {\displaystyle B} $B$ skrivs A × B {\displaystyle A\times B} $A\times B$ , så definitionen kan sammanfattas A × B = { ( a , b ) : a ∈ A ∧ b ∈ B } {\displaystyle A\times B=\{(a,b):a\in A\land b\in B\}} $A\times B=\{(a,b):a\in A\land b\in B\}$ .

Man kan också bilda cartesiska produkter av ett större antal mängder. Produkten A × B × C av de tre mängderna A, B och C består av alla trippler (a,b,c), där a ∈ A, b ∈ B och c ∈ C. Allmänt gäller att om (Mi)i∈I är en familj av mängder över en indexmängd av godtycklig storlek, så definieras den cartesiska produkten av denna familj genom

∏ i ∈ I M i = { ( x i ) i ∈ I : x i ∈ M i för i ∈ I } {\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:x_{i}\in M_{i}{\hbox{ för }}i\in I\}}

\prod _{i\in I}M_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:x_{i}\in M_{i}{\hbox{ för }}i\in I\}

När indexmängden består av de n första positiva heltalen, alltså I = { 1, 2, ..., n}, så skrivs produkten hellre som

∏ i = 1 n M i = M 1 × … × M n = { ( x 1 , … , x n ) : x i ∈ M i för i = 1 , … , n } {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}M_{i}=M_{1}\times \ldots \times M_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in M_{i}{\hbox{ för }}i=1,\ldots ,n\}}

\prod _{i=1}^{n}M_{i}=M_{1}\times \ldots \times M_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in M_{i}{\hbox{ för }}i=1,\ldots ,n\}

Formellt sett torde till exempel A × B × C, (A × B) × C och A × (B × C) vara olika mängder, eftersom oftast (a,b,c), ((a,b),c) och (a,(b,c)) definieras på ett sådant sätt att de är olika. I praktiken behandlar man dock i allmänhet dessa som samma mängd genom att man identifierar trippeln och de två "blandade" paren.

Produkten A × A kan också skrivas A2, A × A × A skrivs också A3, och så vidare. En vanlig tillämpning är beteckningen för reella talplanet, R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} $\mathbb {R} ^{2}$ eller R2.

Exempel:

{a, b, c} × {d, e} = {(a, d), (a, e), (b, d), (b, e), (c, d), (c, e)}

Referenser

Källor

Thompson, Jan; Thomas Martinsson (1991). Wahlström & Widstrands matematiklexikon. Wahlström & Widstrand. ISBN 91-46-16515-0

Se även

För tal:

För mängder: