Egenvektorer till en kvadratisk matris är de nollskilda vektorer som bibehåller sin riktning efter multiplikation med matrisen. Till varje egenvektor hör en skalningsfaktor, ett egenvärde, med vilken vektorns storlek är ändrad efter matrismultiplikationen.
Ett egenrum för ett egenvärde är det delrum som spänns upp av egenvektorerna som hör till egenvärdet.
Låt F vara en linjär avbildning från ett linjärt rum V till samma rum. En vektor u skild från nollvektorn i V sådan att
F ( u ) = λ u {\displaystyle F(\mathbf {u} )=\lambda \mathbf {u} } ,för något tal λ {\displaystyle \lambda }
är en egenvektor till F med egenvärdet λ {\displaystyle \lambda } .Om F kan framställas som en matris A är
A U = λ U {\displaystyle \ AU=\lambda U} ,där matrisen U är en matris av egenvektorer.
Mängden av egenvärden kallas den linjära avbildningens spektrum.
Antag en linjär avbildning av n-dimensionella vektorer definierade av en n × n-matris A,
A v = w , {\displaystyle Av=w,}eller
= {\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\ldots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\ldots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\ldots &A_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}}där, för varje rad,
w i = A i 1 v 1 + A i 2 v 2 + ⋯ + A i n v n = ∑ j = 1 n A i j v j {\displaystyle w_{i}=A_{i1}v_{1}+A_{i2}v_{2}+\cdots +A_{in}v_{n}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}v_{j}} .Om v är en skalär multipel av w, det vill säga om
A v = w = λ v , ( 1 ) {\displaystyle Av=w=\lambda v,\qquad (1)}då är v en egenvektor till den linjära avbildningen A och skalfaktorn λ är det egenvärde som svarar mot egenvektorn. Ekvation (1) är egenvärdesekvationen till matrisen A och kan formuleras som
( A − λ I ) v = 0 , ( 2 ) {\displaystyle (A-\lambda I)v=0,\qquad (2)}där I är identitetsmatrisen.
Ekvation (2) har en nollskild lösning v om och endast om determinanten till matrisen (A − λI) är noll. Egenvärdena till A är därför de λ som satisfierar sekularekvationen till A:
det ( A − λ I ) = 0 ( 3 ) {\displaystyle \det(A-\lambda I)=0\qquad (3)}Vänsterledet till ekvation (3) är ett polynom i λ av grad n,
p ( λ ) ≡ det ( λ I n − A ) = ∑ k = 0 n c k λ k , {\displaystyle p(\lambda )\equiv \det(\lambda I_{n}-A)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda ^{k}~,}vilket kallas det karaktäristiska polynomet till A.
Algebrans fundamentalsats innebär att karaktäristiska polynomet kan faktoriseras som
p ( λ ) = ( λ 1 − λ ) ( λ 2 − λ ) ⋯ ( λ n − λ ) , {\displaystyle p(\lambda )=(\lambda _{1}-\lambda )(\lambda _{2}-\lambda )\cdots (\lambda _{n}-\lambda ),}där varje λi kan vara ett reellt eller komplext tal. Talen λ1, λ2, ... λn, är polynomets nollställen och är egenvärdena till A.
Om λ i {\displaystyle \lambda _{i}}
är en multipelrot som förekommer m gånger sägs λ i {\displaystyle \lambda _{i}} ha den algebraiska multipliciteten m.Determinanten till en triangulär matris
A = {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&&\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}}är produkten av elementen i diagonalen:
det A = a 11 ⋅ a 22 ⋯ a n n {\displaystyle \det A=a_{11}\cdot a_{22}\cdots a_{nn}}Sekularekvationen för en triangulär matris blir då
det ( A − λ I ) = ( a 11 − λ ) ⋅ ( a 22 − λ ) ⋅ ⋯ ( a n n − λ ) = 0 {\displaystyle \det(A-\lambda I)=(a_{11}-\lambda )\cdot (a_{22}-\lambda )\cdot \cdots (a_{nn}-\lambda )=0}vilken uppenbarligen har lösningarna
λ 1 = a 11 , λ 2 = a 22 , . . . , λ n = a n n {\displaystyle \lambda _{1}=a_{11},\lambda _{2}=a_{22},...,\lambda _{n}=a_{nn}}En n×n-matris kan överföras till en triangulär matris utan att dess egenvärden ändras.
Om A är en godtycklig n×n-matris gäller därför
Antag att en linjär avbildning ges av matrisen A enligt
A = {\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&2\\-2&-2\end{bmatrix}}}Sekularekvationen
det ( A − λ I ) = 0 {\displaystyle \det \left(A-\lambda I\right)=0}blir
| 3 − λ 2 − 2 − 2 − λ | = ( 3 − λ ) ( − 2 − λ ) − ( − 2 ⋅ 2 ) = λ 2 − λ − 2 = 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}3-\lambda &2\\-2&-2-\lambda \end{vmatrix}}=(3-\lambda )(-2-\lambda )-(-2\cdot 2)=\lambda ^{2}-\lambda -2=0}där det karakteristiska polynomet i λ har rötterna
λ 1 = − 1 , λ 2 = 2 {\displaystyle \ \lambda _{1}=-1,\quad \lambda _{2}=2}vilka alltså är avbildningens egenvärden.
Enligt ekvationen
A x = λ x {\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} }är de motsvarande egenvektorerna lösningarna till systemen
{ 3 x 1 + 2 x 2 = − x 1 − 2 x 1 − 2 x 2 = − x 2 { 3 x 1 + 2 x 2 = 2 x 1 − 2 x 1 − 2 x 2 = 2 x 2 {\displaystyle {\begin{cases}3x_{1}+2x_{2}&=-x_{1}\\-2x_{1}-2x_{2}&=-x_{2}\end{cases}}\quad {\begin{cases}3x_{1}+2x_{2}&=2x_{1}\\-2x_{1}-2x_{2}&=2x_{2}\end{cases}}}Det första systemet har lösningen
( t , − 2 t ) {\displaystyle \ (t,-2t)}och det andra lösningen
( 2 t , − t ) {\displaystyle \ (2t,-t)}De till egenvärdena
λ 1 = − 1 , λ 2 = 2 {\displaystyle \ \lambda _{1}=-1,\quad \lambda _{2}=2}hörande egenvektorerna är alltså
( 1 , − 2 ) , ( 2 , − 1 ) {\displaystyle \ (1,-2),\quad (2,-1)}och alla vektorer som är parallella med dessa.
Egenrummet till ett egenvärde av en linjärtransformation är det vektorrum som spänns upp av de linjärt oberoende egenvektorerna till linjärtransformationen som svarar mot detta egenvärde. Antalet av dessa linjärt oberoende egenvektorer är egenrummets dimension och kallas egenvärdets geometriska multiplicitet.
Den geometriska multipliciteten är alltid mindre än eller lika med den algebraiska multipliciteten.
För en kvadratisk matris A, kan egenrummen fås, när egenvärdena är kända, genom ekvationen
( A − λ I ) x = 0 {\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {x} =\mathbf {0} }som löses för vektorn x för alla egenvärden, exempelvis som ett linjärt ekvationssystem.
Tabellen visar några exempel på transformationer i planet tillsammans med dessas 2×2 matriser, egenvärden och egenvektorer.
Egenvärdesproblem har varit en viktig del inom matematiken och dess tillämpningar under mer än tvåhundra år. Inom mekaniken ger egenvärden resonansfrekvenser för mekaniska system. De grundtoner som frambringas av till exempel stränginstrument motsvaras av egenvärden för den svängande strängen.
Inom hållfasthetsläran används egenvärdesanalys för att studera spännings- och töjningstensorer. Egenvärdena ger tensorernas extremvärden som används för bedömning av risk för brott eller plastisk deformation.
Även inom kvantmekaniken är egenvärden av fundamental betydelse. De bestämmer till exempel de möjliga energinivåerna hos atomer och molekyler.
Matematiskt har egenvärdena och egenvektorerna betydelse vid diagonalisering av matriser och i det allmännare fallet Jordans normalform.
|