Nollrum

Utseende flytta till sidofältet dölj

Nollrummet eller kärnan till en linjär avbildning F : U → V {\displaystyle F:\mathbb {U} \rightarrow \mathbb {V} } (där U {\displaystyle \mathbb {U} } och V {\displaystyle \mathbb {V} } är två vektorrum) definieras som:

N ( F ) = { u ¯ ∈ U : F ( u ¯ ) = 0 ¯ } {\displaystyle N(F)=\{{\bar {u}}\in \mathbb {U} :F({\bar {u}})={\bar {0}}\}}

Det vill säga mängden av alla vektorer i U {\displaystyle \mathbb {U} } som avbildas på nollvektorn, alltså "som blir 0". Att nollrummet gör skäl för sitt namn och inte bara är en delmängd utan även ett underrum till U {\displaystyle \mathbb {U} } visas med hjälp av definitionen av en linjär avbildning, ty om u ¯ , w ¯ ∈ N ( F ) {\displaystyle {\bar {u}},{\bar {w}}\in N(F)} och α ∈ R {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } så gäller:

  1. F ( u ¯ + w ¯ ) = F ( u ¯ ) + F ( w ¯ ) = 0 ¯ ⇒ u ¯ + w ¯ ∈ N ( F ) {\displaystyle F({\bar {u}}+{\bar {w}})=F({\bar {u}})+F({\bar {w}})={\bar {0}}\Rightarrow {\bar {u}}+{\bar {w}}\in N(F)}
  2. F ( α u ¯ ) = α F ( u ¯ ) = α 0 ¯ = 0 ¯ ⇒ α u ¯ ∈ N ( F ) {\displaystyle F(\alpha {\bar {u}})=\alpha F({\bar {u}})=\alpha {\bar {0}}={\bar {0}}\Rightarrow \alpha {\bar {u}}\in N(F)}

vilket är ekvivalent med att N ( F ) {\displaystyle N(F)} är ett underrum av U {\displaystyle \mathbb {U} } .

Tolkning

Om nollrummet består av åtminstone någon nollskild vektor, det vill säga om N ( F ) ≠ { 0 } {\displaystyle N(F)\not =\{0\}} , och avbildningen F {\displaystyle F} kan skrivas med matrisen A {\displaystyle A} följer att:

Det vill säga att om du har funnit en lösning x {\displaystyle x} till ekvationen y = A x {\displaystyle y=Ax} så är även x + z {\displaystyle x+z} en lösning, en lösningsstruktur som bekant återfinns även då man löser linjära differentialekvationer. Det innebär också att det finns en inbyggd osäkerhet i det system som beskrivs av ekvationen y = A x {\displaystyle y=Ax} . Om A {\displaystyle A} är någon slags transform som verkar på en insignal x {\displaystyle x} och ger en utsignal y {\displaystyle y} så kan du, givet enbart utsignalen y {\displaystyle y} , inte veta om insignalen i det här fallet var x {\displaystyle x} eller x + z {\displaystyle x+z} .

Att z {\displaystyle z} hör till nollrummet behöver dock inte betyda att den inte har någon som helst effekt på systemet. Tänk dig att y = A x {\displaystyle y=Ax} nu beskriver en kloss som vi applicerar olika stora krafter på under en viss tid. y {\displaystyle y} står för klossens position och hastighet vid sluttidpunkten, x {\displaystyle x} innehåller de olika krafter som vi vill applicera och A {\displaystyle A} beskriver vilken effekt respektive kraft har på klossens slutposition och sluthastighet. Att A z = 0 {\displaystyle Az=0} innebär i det här fallet inte nödvändigtvis att klossen står still under hela tidsperioden, utan den kan röra sig fram och tillbaka i princip hur som helst så länge den står still i sin ursprungsposition väl vid sluttidpunkten.

Exempel

Lösning: Vid en ortogonalprojektion projiceras varje vektor ner i planet, alltså att man från en given vektor enbart erhåller den komposant som är parallell med planet. N ( F ) {\displaystyle N(F)} består således av de vektorer som helt saknar en komposant parallell med planet, det vill säga som är ortogonala mot planet. Således består N ( F ) {\displaystyle N(F)} av alla vektorer längs planets normallinje.

( 2 1 − 1 − 4 0 1 − 1 0 0 2 − 2 0 1 0 0 − 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1&-1&-4\\0&1&-1&0\\0&2&-2&0\\1&0&0&-2\end{pmatrix}}}


Lösning: N ( F ) {\displaystyle N(F)} består av alla de vektorer X {\displaystyle X} för vilka A X = 0 {\displaystyle AX=0} , en ekvation som vi tecknar och sedan löser med stegvis gausselimination:

→ → ⇔ x 2 = x 3 x 1 = 2 x 4 {\displaystyle \left\to \left\to \left\Leftrightarrow {\begin{alignedat}{7}x_{2}&&\;=\;&&x_{3}\\x_{1}&&\;=\;&&2x_{4}\end{alignedat}}}

x 3 = t , x 4 = s ⇒ x 2 = t , x 1 = 2 s ⇒ X = ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) = s ( 2 0 0 1 ) + t ( 0 1 1 0 ) = s v ¯ + t u ¯ {\displaystyle x_{3}=t,x_{4}=s\Rightarrow x_{2}=t,x_{1}=2s\Rightarrow X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}=s{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\1\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}}=s{\bar {v}}+t{\bar {u}}} där vektorerna v ¯ {\displaystyle {\bar {v}}} och u ¯ {\displaystyle {\bar {u}}} alltså spänner upp N ( F ) {\displaystyle N(F)} och således utgör en bas för nollrummet.

Se även

Referenser