Steinhaus–Mosers notation
Utseende flytta till sidofältet döljSteinhaus–Mosers notation är ett sätt inom matematiken att uttrycka extremt stora tal. Notationen är uppkallad efter Hugo Steinhaus och Leo Moser. Det är en utökning av Steinhaus polygonnotation (se nedan).
Definitioner och exempel
, talet n i en triangel, betyder nn, det vill säga n upphöjt till n.
, talet n i en kvadrat, betyder "talet n inuti n stycken trianglar".
, talet n i en femhörning, betyder "talet n inuti n stycken kvadrater".
Detta går att generalisera till godtycklig månghörning, så att n skrivet i en (m+1)-hörning är ekvivalent med "talet n inuti n stycken m-hörningar".
Exempel, talet 2 i en kvadrat är det samma som talet 2 i två trianglar, det vill säga
( 2 2 ) ( 2 2 ) = 4 4 = 256 {\displaystyle \left(2^{2}\right)^{\left(2^{2}\right)}=4^{4}=256} .
.
Steinhaus polygonnotation
I Steinhaus polygonnotation är endast triangeln, kvadraten och en cirkel, 
, definierade. Cirkeln är ekvivalent med femhörningen ovan.
Steinhaus definierade:
- "mega" är talet 2 i en cirkel:
- "megiston" är talet 10 i en cirkel:
Mosers tal är talet "2 i en megagon", där en "megagon" är en "megahörning", dvs en månghörning med "mega" stycken sidor.
Alternativa notationer
- Använd funktionerna square(x) och triangle(x)
- låt M(n,m,p) vara talet som representeras av talet n i en m-nästlad p-hörning; sedan följer:
- M ( n , 1 , 3 ) = n n {\displaystyle M(n,1,3)=n^{n}}
- M ( n , 1 , p + 1 ) = M ( n , n , p ) {\displaystyle M(n,1,p+1)=M(n,n,p)}
- M ( n , m + 1 , p ) = M ( M ( n , 1 , p ) , m , p ) {\displaystyle M(n,m+1,p)=M{\big (}M(n,1,p),m,p{\big )}}
- mega = M ( 2 , 1 , 5 ) {\displaystyle M(2,1,5)}
- moser = M ( 2 , 1 , M ( 2 , 1 , 5 ) ) {\displaystyle M{\big (}2,1,M(2,1,5){\big )}}
Mega
Notera att
är redan det ett mycket stort tal, eftersom
=
square(square(2)) = square(triangle(triangle(2))) =
square(triangle(22)) =
square(triangle(4)) =
square(44) =
square(256) =
triangle(triangle(triangle(...triangle(256)...))) =
triangle(triangle(triangle(...triangle(256256)...))) =
triangle(triangle(triangle(...triangle(3.2 × 10616)...))) =
...
Eller med den alternativa notationen:
mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)
Med funktionen f ( x ) = x x {\displaystyle f(x)=x^{x}} har vi mega = f 256 ( 256 ) = f 258 ( 2 ) {\displaystyle f^{256}(256)=f^{258}(2)} där exponenten representerar en funktionsexponent, inte en numerisk exponent.
har vi mega =
f
256
(
256
)
=
f
258
(
2
)
{\displaystyle f^{256}(256)=f^{258}(2)}
där exponenten representerar en funktionsexponent, inte en numerisk exponent.
Vi har (observera konventionen att exponenter räknas från höger till vänster):
- M(256,2,3) = ( 256 256 ) 256 256 = 256 256 257 {\displaystyle (256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}}
- M(256,3,3) = ( 256 256 257 ) 256 256 257 = 256 256 257 × 256 256 257 = 256 256 257 + 256 257 {\displaystyle (256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}} ≈ 256 256 256 257 {\displaystyle 256^{\,\!256^{256^{257}}}}
≈
256
256
256
257
{\displaystyle 256^{\,\!256^{256^{257}}}}
På samma sätt:
- M(256,4,3) ≈ 256 256 256 256 257 {\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}}
- M(256,5,3) ≈ 256 256 256 256 256 257 {\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}
osv.
Således:
- mega = M ( 256 , 256 , 3 ) ≈ ( 256 ↑ ) 256 257 {\displaystyle M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257} , där ( 256 ↑ ) 256 {\displaystyle (256\uparrow )^{256}} betecknar en funktionsexponent av funktionen f ( n ) = 256 n {\displaystyle f(n)=256^{n}} .
, där
(
256
↑
)
256
{\displaystyle (256\uparrow )^{256}}
betecknar en funktionsexponent av funktionen
f
(
n
)
=
256
n
{\displaystyle f(n)=256^{n}}
.Om vi avrundar lite mer grovt, (ersätter 257 i slutet av 256), får vi mega ≈ 256 ↑↑ 257 {\displaystyle 256\uparrow \uparrow 257} , (här används Knuths pilnotation).
, (här används Observera att efter de första stegen så är värdet av n n {\displaystyle n^{n}} varje gång ungefär lika med 256 n {\displaystyle 256^{n}} . Faktum är att det är även ungefär lika med 10 n {\displaystyle 10^{n}} . Genom att använda exponenter med basen 10 får vi:
varje gång ungefär lika med
256
n
{\displaystyle 256^{n}}
. Faktum är att det är även ungefär lika med
10
n
{\displaystyle 10^{n}}
. Genom att använda exponenter med basen 10 får vi:
- M ( 256 , 1 , 3 ) ≈ 3.23 × 10 616 {\displaystyle M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}}
- M ( 256 , 2 , 3 ) ≈ 10 1.99 × 10 619 {\displaystyle M(256,2,3)\approx 10^{\,\!1.99\times 10^{619}}} ( log 10 616 {\displaystyle \log _{10}616} är adderat med 616)
- M ( 256 , 3 , 3 ) ≈ 10 10 1.99 × 10 619 {\displaystyle M(256,3,3)\approx 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}} ( 619 {\displaystyle 619} är adderat 1.99 × 10 619 {\displaystyle 1.99\times 10^{619}} , vilket är försumbart; därför är bara 10 adderat på slutet)
(
log
10
616
{\displaystyle \log _{10}616}
är adderat med 616)
(
619
{\displaystyle 619}
är adderat
1.99
×
10
619
{\displaystyle 1.99\times 10^{619}}
, vilket är försumbart; därför är bara 10 adderat på slutet)- M ( 256 , 4 , 3 ) ≈ 10 10 10 1.99 × 10 619 {\displaystyle M(256,4,3)\approx 10^{\,\!10^{10^{1.99\times 10^{619}}}}}
...
- mega = M ( 256 , 256 , 3 ) ≈ ( 10 ↑ ) 255 1.99 × 10 619 {\displaystyle M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1.99\times 10^{619}} , där ( 10 ↑ ) 255 {\displaystyle (10\uparrow )^{255}} betecknar en funktionsexponent av funktionen f ( n ) = 10 n {\displaystyle f(n)=10^{n}} . Alltså gäller 10 ↑↑ 257 < mega < 10 ↑↑ 258 {\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<{\mbox{mega}}<10\uparrow \uparrow 258}
, där
(
10
↑
)
255
{\displaystyle (10\uparrow )^{255}}
betecknar en funktionsexponent av funktionen
f
(
n
)
=
10
n
{\displaystyle f(n)=10^{n}}
. Alltså gäller
10
↑↑
257
<
mega
<
10
↑↑
258
{\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<{\mbox{mega}}<10\uparrow \uparrow 258}
Mosers tal
Det har bevisats att Mosers tal, trots att det är extremt stort, är mindre än Grahams tal.
Därför, med Conways kedjepilsnotation,
moser < 3 → 3 → 64 → 2 {\displaystyle {\mbox{moser}}<3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2}