Kontinuerlig funktion

I den här artikeln kommer ämnet Kontinuerlig funktion att tas upp, som har varit föremål för studier och intresse inom olika områden genom åren. Kontinuerlig funktion är ett ämne som har väckt kontroverser och debatt, på grund av dess inverkan och inflytande på olika aspekter av samhället. Genom en detaljerad och uttömmande analys kommer de olika perspektiv och tillvägagångssätt som har föreslagits avseende Kontinuerlig funktion att undersökas, för att ge en heltäckande och komplett vision av detta ämne. Likaså kommer de implikationer och konsekvenser som Kontinuerlig funktion har haft i olika sammanhang att utforskas, liksom de möjliga sätten att ta itu med och lösa de utmaningar det innebär. Genom kritisk reflektion och rigorös analys kommer vi att söka bidra till förståelsen och kunskapen om Kontinuerlig funktion, med syftet att berika debatten och främja en berikande och konstruktiv vision om detta ämne.

Att en reellvärd funktion definierad på hela R är kontinuerlig betyder att dess graf är sammanhängande.
Denna funktion är inte kontinuerlig i punkten x0 eftersom den där gör ett hopp.

Inom matematiken är en kontinuerlig funktion en funktion som inte gör några plötsliga hopp och inte har några avbrott, så att nästan lika värden in garanterar nästan lika värden ut. För en reellvärd funktion f med ett reellt argument kan man precisera detta som att man för varje givet reellt tal x0 där funktionen är definierad och varje given noggrannhet kan vara säker på att f(x) approximerar f(x0) med minst denna noggrannhet för alla x som ligger tillräckligt nära x0.

Begreppet kontinuitet är dock mycket använt inom olika delar av matematiken, även sådana där denna intuitiva förklaring inte så lätt låter sig omformuleras i en stringent definition. Topologi är den gren av matematiken som studerar kontinuerliga funktioner i dess mest generella betydelse. Där definieras en funktion mellan två topologiska rum som kontinuerlig, om varje urbild av en öppen mängd är öppen. Man kan visa att denna generella definition betyder samma sak som den vanliga definitionen för "vanliga" funktioner.

Exempel

  • En funktion f definierad på en delmängd av de reella talen är kontinuerlig i en punkt x = x0 i funktionens definitionsmängd Df om den där identisk med sitt gränsvärde, det vill säga om

Att f är kontinuerlig betyder att den är kontinuerlig i varje punkt i Df. Exempelvis är f definierad av f(x) = 1/x för alla x skilda från 0 kontinuerlig, trots att dess graf "hoppar" i punkten 0.

Formella definitioner av "kontinuerlig funktion"

Den intuitiva beskrivningen med hjälp av "noggrannhet" brukar traditionellt formaliseras i termer av ε (som uttalas epsilon och här betecknar "utvärdesnoggrannheten") och δ (delta, "invärdesnoggrannheten"). Detta ger följande precisa definition i det mest grundläggande fallet.

På reella tallinjen

En reellvärd funktion f av en reell variabel (alltså sådan att dess definitionsmängd DfR) är:

  • kontinuerlig i punkten xDf om det för vart ε > 0 existerar ett δ > 0 sådant att yDf och |x - y| < δ medför |f(x) - f(y)| < ε.
  • kontinuerlig i ett intervall (exempelvis eller ]a, b[) om den är kontinuerlig i alla punkter i intervallet.
  • kontinuerlig om den är kontinuerlig i varje punkt x i Df.

Man kan göra liknande definitioner exempelvis för funktioner mellan delmängder av olika ändligtdimensionella reella vektorrum, så snart man har preciserat vad |x - y| betyder. Exempelvis brukar man på Rn definiera detta som det euklidiska avståndet:

.

Mellan metriska rum

Allmännare räcker det om både definitionsmängden och målmängden är försedda med metriker, avståndsfunktioner som uppfyller triangelolikheten. Med andra ord, om (X, dx) och (Y, dy) är metriska rum är funktionen f : XY kontinuerlig i xX om det för varje ε > 0 existerar ett δ > 0 så att dX(x, y) < δ ⇒ dY(f(x), f(y)) < ε.

Om XR och Y = R ges den vanliga metriken dR definierad genom dR(a,b) = |a - b|, är denna definition ekvivalent med den förra definitionen.

Mellan topologiska rum

För allmänna topologiska rum X och Y gäller att en funktion f : XY är kontinuerlig om urbilden av varje öppen mängd i Y är öppen i X. Det vill säga för varje öppen mängd UY gäller att f -1(U) är öppen i X.

Man säger att f är kontinuerlig i punkten x om det för varje omgivning V till f(x) finns en omgivning U till x, sådan att f(U)V. Om X och Y är metriska rum, så är denna definition ekvivalent med den klassiska ε-och-δ-definitionen.

Riktad kontinuerlighet

en högerkontinuerlig funktion

En funktion kan vara kontinuerlig i endast en riktning.

Se även

Externa länkar