Thomaes funktion

Thomaes function, Riemannfunktionen eller i engelsktalande länder popcornfunktionen är en funktion som är kontinuerlig i alla irrationella punkter och diskontinuerlig i alla rationella.^[1]

Funktionen definition är

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&{\text{om }}x={\frac {p}{q}}\\0&{\text{i annat fall}}.\end{cases}}}$, där ${\displaystyle p}$ och ${\displaystyle q}$ är heltal och bråket ${\displaystyle p/q}$ är förkortat så mycket som möjligt.

Låt ${\displaystyle x}$ vara ett irrationellt tal och ${\displaystyle \epsilon =1/n\,}$ för ${\displaystyle n\,}$ ett heltal. Vi kan definiera

${\displaystyle y^{*}=\min _{j}\min _{1\leq m\leq n}\left|x-{\frac {j}{m}}\right|}$.

${\displaystyle y^{*}}$ är alltså det kortaste avståndet till ett rationellt tal med nämnare högst ${\displaystyle n}$. Då är

${\displaystyle |f(x)-f(y)|=|f(y)|\leq \epsilon }$ om ${\displaystyle |x-y|\leq |x-y^{*}|=\delta }$.

Detta visar att ${\displaystyle f}$ är kontinuerlig i ${\displaystyle x}$.

Om ${\displaystyle x=p/q}$ finns det för varje ${\displaystyle \delta >0}$ ett (irrationellt) ${\displaystyle y}$ så att

${\displaystyle |x-y|\leq \delta }$ men ${\displaystyle |f(x)-f(y)|=|f(x)|={\frac {1}{q}}}$.

Detta visar att ${\displaystyle f}$ är diskontinuerlig i ${\displaystyle x}$.

• Dirichlets funktion

• Wikimedia Commons har media som rör Thomaes funktion.
  Bilder & media