Tangentfyrhörning

En tangentfyrhörning eller en omskriven fyrhörning är en fyrhörning i vilken en cirkel kan inskrivas, alltså en cirkel som invändigt tangerar alla fyra sidorna.^[1] Medelpunkten hos denna cirkel ligger i skärningspunkten för bisektriserna till de fyra hörnvinklarna. Dessa bisektriser skär inte varandra i en punkt i alla fyrhörningar, utan endast i de fyrhörningar som kan ha en inskriven cirkel. Att bisektrisernas skär varandra är således ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att en fyrhörning ska ha en inskriven cirkel.^[2]

Exempel på tangentfyrhörningar är drake, romb och kvadrat. En fyrhörning är en tangentfyrhörning om och endast om dess konsekutiva sidor a, b, c och d uppfyller a + c = b + d (se figuren till höger), vilket kallas Pitots sats.^[2]

De viktigaste storheterna hos en tangentfyrhörning uttrycks inte i sidornas längder utan i de fyra tangentlängderna.^[3] Med tangentlängderna menas avstånden från de fyra hörnen till de punkter på sidorna där den inskrivna cirkeln tangerar sidorna. De fyra tangentlängderna som utgår ifrån hörnen A, B, C, D betecknas e, f, g, h respektive (se nedre figuren till höger). Då gäller formlerna nedan.

Summan av tangentlängderna är fyrhörningens semiperimeter, ${\displaystyle s=e+f+g+h={\frac {a+b+c+d}{2}}}$, vilket, via Pitots sats, ger ${\displaystyle s={\frac {(a+c)+(b+d)}{2}}={\frac {a+c+a+c}{2}}=a+c=b+d}$.

Den i en tangentfyrhörning inskrivna cirkeln har en radie som ges av^{[4][5]:Lemma 2}

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{s}}}}$

där e, f, g, h är tangentlängderna.

En tangentfyrhörning med tangentlängderna e, f, g, h har arean^[4]

${\displaystyle K={\sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}={\sqrt {s\cdot (efg+fgh+ghe+hef)}}.}$

Låt ${\displaystyle I}$ beteckna den inskrivna cirkelns medelpunkt och ${\displaystyle r}$ dess radie. Då är:

${\displaystyle K=|\triangle AIB|+|\triangle BIC|+|\triangle CID|+|\triangle DIA|={\frac {r\cdot a}{2}}+{\frac {r\cdot b}{2}}+{\frac {r\cdot c}{2}}+{\frac {r\cdot d}{2}}=r\cdot (e+f+g+h)=r\cdot s}$

eftersom ${\displaystyle r}$ är höjd mot respektive fyrhörningssida i alla de fyra deltrianglarna med en av dessa sidor som bas och det tredje hörnet i cirkelns medelpunkt.

Hörnvinklarna i en tangentfyrhörning ABCD kan uttryckas i tangentlängderna e, f, g, h som^{[3]:Theorem 8}

${\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {B}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {C}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {D}{2}}={\sqrt {\frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}}.}$

Enklare beräknas dock hörnvinklarna med elementär trigonometri om den inskrivna cirkelns radie är känd. Låt ${\displaystyle T}$ beteckna tangeringspunkten med den inskrivna cirkeln för sidan ${\displaystyle {\overline {AB}}}$, ${\displaystyle I}$ beteckna den inskrivna cirkelns medelpunkt och ${\displaystyle r}$ cirkelns radie. Då är ${\displaystyle \triangle AIB}$ rätvinklig med katetlängderna ${\displaystyle r}$ respektive ${\displaystyle e}$ och vinkeln ${\displaystyle \angle TAI={\frac {\angle DAT}{2}}={\frac {A}{2}}}$. Detta ger:

${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\frac {r}{e}}\Leftrightarrow {\frac {A}{2}}=\arctan {\frac {r}{e}}\Leftrightarrow A=2\cdot \arctan {\frac {r}{e}}}$

och motsvarande för:

${\displaystyle B=2\cdot \arctan {\frac {r}{f}}}$  ,   ${\displaystyle C=2\cdot \arctan {\frac {r}{g}}}$  och   ${\displaystyle D=2\cdot \arctan {\frac {r}{h}}}$.

Längderna på diagonalerna p = AC och q = BD i en tangentfyrhörning ABCD ges av^{[5]:Lemma 3}

${\displaystyle \displaystyle p={\sqrt {{\frac {e+g}{f+h}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4fh{\Big )}}},}$

${\displaystyle \displaystyle q={\sqrt {{\frac {f+h}{e+g}}{\Big (}(e+g)(f+h)+4eg{\Big )}}}}$

där e, f, g, h är tangentlängderna.

Om hörnvinklarna är kända beräknas diagonalernas längd enkelt med cosinussatsen, exempelvis:

${\displaystyle |{\overline {BD}}|={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2da\cdot \cos A}}}$

• Cyklisk fyrhörning
• Omskriven polygon