Cosinussatsen
Cosinussatsen relaterar längden av en sida i en godtycklig triangel till längderna av de andra två samt den till sidan motstående vinkeln.
Antag en triangel med sidlängderna a, b och c och med vinklarna α, β och γ:
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
⋅
cos
α
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }
b
2
=
a
2
+
c
2
−
2
a
c
⋅
cos
β
{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta }
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
⋅
cos
γ
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma }
b
2
=
a
2
+
c
2
−
2
a
c
⋅
cos
β
{\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta }
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
⋅
cos
γ
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma }
Om någon vinkel är rät erhålls Pythagoras sats då cosinus för en rät vinkel är 0.
Bevis
 |
Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
Bevis med Pythagoras sats
Om Pythagoras sats tillämpas erhålls
a 2 = ( a cos β ) 2 + ( b 2 − ( b cos α ) 2 ) {\displaystyle \ a^{2}=\left(a\cos \beta \right)^{2}+\left(b^{2}-\left(b\cos \alpha \right)^{2}\right)}
Enligt figuren är
a cos β = c − b cos α {\displaystyle \ a\cos \beta =c-b\cos \alpha }
vilket om det insätts i uttrycket för a 2 {\displaystyle \ a^{2}} ger
a 2 = ( c − b cos α ) 2 + b 2 − ( b cos α ) 2 {\displaystyle a^{2}=\left(c-b\cos \alpha \right)^{2}+b^{2}-\left(b\cos \alpha \right)^{2}}
ger
En utveckling av ovanstående uttryck ger till slut
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos α {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }Bevis med avståndsformeln
En triangel har sidorna a, b, c. Genom att placera triangeln i ett koordinatsystem kan sidlängderna beräknas enligt avståndsformeln med
A = ( b cos θ , b sin θ ) , B = ( a , 0 ) , C = ( 0 , 0 ) {\displaystyle A=(b\cos \theta ,b\sin \theta ),\quad B=(a,0),\quad C=(0,0)}
Med hjälp av avståndsformeln kan längden av sidan c skrivas som
c = ( a − b cos θ ) 2 + ( 0 − b sin θ ) 2 ⇒ {\displaystyle c={\sqrt {(a-b\cos \theta )^{2}+(0-b\sin \theta )^{2}}}\quad \Rightarrow } c 2 = ( a − b cos θ ) 2 + ( − b sin θ ) 2 {\displaystyle c^{2}=(a-b\cos \theta )^{2}+(-b\sin \theta )^{2}} c 2 = a 2 − 2 a b cos θ + ( b cos θ ) 2 + ( b sin θ ) 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}-2ab\cos \theta +(b\cos \theta )^{2}+(b\sin \theta )^{2}} c 2 = a 2 + b 2 ( sin 2 θ + cos 2 θ ) − 2 a b cos θ {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta }
c
2
=
(
a
−
b
cos
θ
)
2
+
(
−
b
sin
θ
)
2
{\displaystyle c^{2}=(a-b\cos \theta )^{2}+(-b\sin \theta )^{2}}
c
2
=
a
2
−
2
a
b
cos
θ
+
(
b
cos
θ
)
2
+
(
b
sin
θ
)
2
{\displaystyle c^{2}=a^{2}-2ab\cos \theta +(b\cos \theta )^{2}+(b\sin \theta )^{2}}
c
2
=
a
2
+
b
2
(
sin
2
θ
+
cos
2
θ
)
−
2
a
b
cos
θ
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta }
och slutligen
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos θ {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \theta }
Se även
Referenser
- ^ Ekbom, Lennart (1978). Tabeller och formler N T Te. Nacka: Esselte Studium. sid. 56. ISBN 91-24-27604-9