Inom matematiken är ett kvadratfritt tal ett heltal som inte är delbart med någon perfekt kvadrat, utom 1. Till exempel är 10 kvadratfritt men inte 18, eftersom 18 är delbart med 9 = 32.
De första positiva kvadratfria talen är:
1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 74, 77, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 93, 94, 95, 97, 101, 102, 103, 105, 106, 107, 109, 110, 111, 113, 114, 115, 118, 119, 122, 123, 127, 129, 130, 131, 133, 134, 137, 138, 139, 141, 142, 143, 145, 146, 149, 151, 154, 155, 157, 158, 159, 161, 163, 165, 166, 167, 170, 173, 174, 177, 178, 179, 181, 182, 183, 185, 186, 187, 190, 191, 193, 194, 195, 197, 199, 201, 202, 203, 205, 206, 209, 210 … (talföljd A005117 i OEIS)Det positiva heltalet n är kvadratfritt om och bara om:
Låt Q(x) beteckna antalet kvadratfria tal mellan 1 och x. Då kan man bevisa med elementära metoder
Q ( x ) = x ζ ( 2 ) + O ( x ) = 6 x π 2 + O ( x ) {\displaystyle Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O\left({\sqrt {x}}\right)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left({\sqrt {x}}\right)}Med mer avancerade metoder kan man få ner feltermen till
Q ( x ) = 6 x π 2 + O ( x 1 / 2 exp ( − c ( log x ) 3 / 5 ( log log x ) 1 / 5 ) ) . {\displaystyle Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left(x^{1/2}\exp \left(-c{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right).}för någon konstant c. Om man antar att Riemannhypotesen är sann kan feltermen fås ner till
Q ( x ) = x ζ ( 2 ) + O ( x 17 / 54 + ε ) = 6 x π 2 + O ( x 17 / 54 + ε ) . {\displaystyle Q(x)={\frac {x}{\zeta (2)}}+O\left(x^{17/54+\varepsilon }\right)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O\left(x^{17/54+\varepsilon }\right).}Den asymptotiska densiteten av kvadratfria tal är alltså
lim x → ∞ Q ( x ) x = 6 π 2 = 1 ζ ( 2 ) {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}}där ζ är Riemanns zetafunktion.
Centrala binomialkoefficienten
( 2 n n ) {\displaystyle {2n \choose n}}
är aldrig kvadratfri för n > 4. Detta bevisades 1985 för alla tillräckligt stora heltal av András Sárközy och för alla heltal 1996 av Olivier Ramaré och Andrew Granville.
|