Cosinus

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-03)
Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.
Cosinus
Cosine one period.svg
Basegenskaper
ParitetJämn
Definitionsmängd(−∞,∞)
Värdemängd
Period2π
Särskilda värden
Maxima(2kπ, 1), k∈ℤ
Minima((2k + 1)π, −1), k∈ℤ
Särskilda egenskaper
Kritisk punktkπ, k∈ℤ
Inflexionspunktkπ + π/2, k∈ℤ
Fixpunkt≈ 0,7391

Cosinus eller kosinus (cos) är en trigonometrisk funktion och kan tolkas som projektionen på x-axeln av en punkt på enhetscirkeln, bestämd av funktionens argument, medelpunktsvinkeln ω:

Den traditionella skolboksdefinitionen utgår från en rätvinklig triangel

med vinkeln α mellan en katet och hypotenusan, där cosinus för α är förhållandet mellan längden av närliggande katet och hypotenusans längd:

cos ⁡ α = b c {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b}{c}}}

Cosinusfunktionen definieras också av serien

cos ⁡ x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + . . . {\displaystyle \cos x=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}+...}

Om z är komplext gäller

cos ⁡ z = e i z + e − i z 2 {\displaystyle \cos z={{e^{\mathrm {i} z}+e^{-\mathrm {i} z}} \over {2}}}

Cosinusfunktionen står i ett enkelt förhållande till sinusfunktionen:

cos ⁡ α = sin ⁡ ( α + π 2 ) {\displaystyle \cos \alpha =\sin(\alpha +{\frac {\pi }{2}})}

varför funktionernas analytiska egenskaper ofta praktiskt taget sammanfaller.

Analytiska egenskaper

Cosinus är en jämn funktion och periodisk med perioden 2π. Den har derivatan

d d x cos ⁡ x = − sin ⁡ x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}

och den primitiva funktionen

∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x {\displaystyle \int \cos x\;dx=\sin x}

Cosinus är en överallt analytisk funktion.

Se även

Externa länkar