Potensserie

En potensserie (i en variabel) är en serie på formen

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+\dots }$

där koefficienterna a_n, centrumpunkten c och variabeln x vanligtvis är reella eller komplexa tal. Serier av den här typen dyker upp i samband med Taylorserier.

I många sammanhang är c lika med noll, till exempel för en Maclaurinserie. I dessa fall får potensserien det något enklare utseendet

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots }$

Sådana här potensserier dyker främst upp inom analysen, men också inom kombinatoriken (som genererande funktioner) och elektrotekniken (i Z-transformen). Decimalnotationen för heltal kan ses som en potensserie där x är lika med 10.

Om en reell potensserie ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$ konvergerar för något ${\displaystyle x_{0}}$, konvergerar den absolut för alla ${\displaystyle x}$ sådana att ${\displaystyle |x|<|x_{0}|}$. Antingen konvergerar serien för alla ${\displaystyle x}$ eller finns det en konvergensradie, ${\displaystyle R}$, sådan att serien konvergerar för ${\displaystyle |x|<R}$. För ${\displaystyle x=\pm R}$ går det inte att säga något allmänt om konvergens − potensserien kan konvergera betingat, absolut eller divergera. Innanför konvergensradien kan serien deriveras och integreras termvis enligt

${\displaystyle \int \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}\right)dx=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}x^{k+1}}{k+1}}+C}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }ka_{k}x^{k-1}}$.

Detta är inte en självklar egenskap utan kommer ifrån att potensserier konvergerar likformigt.

Ovanstående egenskaper utvidgas enkelt till komplexa potensserier.

Ett polynom kan enkelt uttryckas som en potensserie runt något centrum c, även om de flesta koefficienterna blir lika med 0. Till exempel så kan polynomet f(x) = x² + 2x + 3 skrivas runt c=0 som

${\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\dots }$

eller runt c=1 som

${\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\dots }$

Ett par av de viktigaste exemplen är den geometriska serien

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\dots }$

som konvergerar för |x| < 1 samt exponentialfunktionen

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\dots }$

Dessa serier har varit Taylorserier, men det finns potensserier som inte är Taylorserier till någon funktion, till exempel

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n!x^{n}=1+x+2!x^{2}+3!x^{3}+\dots }$

Koefficienterna i en potensserie a_n får inte bero på x. Följande är alltså inte ett exempel på potensserier.

${\displaystyle 1+\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\dots }$

• Wikimedia Commons har media som rör Potensserie.
  Bilder & media