Algebra över en kropp
Utseende flytta till sidofältet dölj
 |
Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2021-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
En algebra över en kropp är inom matematik en algebraisk struktur, mer specifikt ett vektorrum med en operation som liknar multiplikation.
Definition
En algebra A {\displaystyle A} över en kropp K {\displaystyle K} är ett vektorrum A {\displaystyle A} där det för varje par av element x , y ∈ A {\displaystyle x,y\in A} finns en unik produkt x y ∈ A {\displaystyle xy\in A} med egenskaperna:
över en 
är ett 
finns en unik produkt
x
y
∈
A
{\displaystyle xy\in A}
med egenskaperna:
- x ( y + z ) = x y + x z {\displaystyle x(y+z)=xy+xz\,}
- ( x + y ) z = x z + y z {\displaystyle (x+y)z=xz+yz\,}
- α ( x y ) = ( α x ) y = x ( α y ) {\displaystyle \alpha (xy)=(\alpha x)y=x(\alpha y)\,}
för x , y , z ∈ A {\displaystyle x,y,z\in A} och α ∈ K {\displaystyle \alpha \in K} .
och
α
∈
K
{\displaystyle \alpha \in K}
.
A {\displaystyle A} sägs vara en associativ algebra om
x ( y z ) = ( x y ) z {\displaystyle x(yz)=(xy)z\,}
och en kommutativ algebra eller abelsk algebra om
x y = y x {\displaystyle xy=yx\,} .
.
A {\displaystyle A} kallas för algebra med neutralt element om det finns ett e ∈ A {\displaystyle e\in A} så att
e x = x e = x {\displaystyle ex=xe=x\,} .
så att
.
Om A {\displaystyle A} har ett neutralt element är det unikt. För om man antar att det finns två neutrala element, e {\displaystyle e} och e ′ {\displaystyle e'} , får man att
och
e
′
{\displaystyle e'}
, får man att
- e e ′ = e {\displaystyle ee'=e} eftersom e ′ {\displaystyle e'} är ett neutralt element.
- e e ′ = e ′ {\displaystyle ee'=e'} eftersom e {\displaystyle e} är ett neutralt element.
eftersom
e
′
{\displaystyle e'}
eftersom
e
{\displaystyle e}
Alltså är e = e ′ {\displaystyle e=e'} .
.
Normerad algebra
En associativ algebra A {\displaystyle A} kallas för en normerad algebra om den är ett normerat rum som uppfyller
- ‖ x y ‖ ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ {\displaystyle \|xy\|\leq \|x\|\|y\|} för alla x , y ∈ A {\displaystyle x,y\in A}
- ‖ e ‖ = 1 {\displaystyle \|e\|=1} om A {\displaystyle A} har ett neutralt element e {\displaystyle e} .
för alla
x
,
y
∈
A
{\displaystyle x,y\in A}
om
A
{\displaystyle A}
En normerad algebra kallas för Banachalgebra, uppkallad efter Stefan Banach, om den är fullständig betraktad som ett normerat rum.
Exempel
Tredimensionellt euklidiskt rum
Inre produktrummet R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} med kryssprodukten införd är en algebra över kroppen av reella tal.
med Matrisrum
Rummet av alla komplexa (eller reella) kvadratiska matriser med n {\displaystyle n} rader är en icke-kommutativ associativ algebra med enhetsmatrisen som neutralt element. Genom att införa en matrisnorm blir algebran en Banachalgebra.
rader är en icke-kommutativ associativ algebra med Funktionsrum
Rummet C {\displaystyle C} av alla kontinuerliga funktioner på intervallet {\displaystyle } är en Banachalgebra med operationen
( x y ) ( t ) = x ( t ) y ( t ) {\displaystyle (xy)(t)=x(t)y(t)\,} för alla x ( t ) , y ( t ) ∈ C {\displaystyle x(t),y(t)\in C}
av alla kontinuerliga funktioner på intervallet
{\displaystyle }
är en Banachalgebra med operationen
för alla
x
(
t
)
,
y
(
t
)
∈
C
{\displaystyle x(t),y(t)\in C}
C {\displaystyle C} har det neutrala elementet 1 och normen
‖ x ‖ = max t ∈ x ( t ) {\displaystyle \|x\|=\max _{t\in }x(t)} .
.