0,999 ...



Alla kunskaper som människor har samlat på sig under århundradena om 0,999 ... finns nu tillgängliga på internet, och vi har sammanställt och ordnat dem för dig på ett så lättillgängligt sätt som möjligt. Vi vill att du snabbt och effektivt ska kunna få tillgång till allt du vill veta om 0,999 ..., att din upplevelse ska vara trevlig och att du ska känna att du verkligen har hittat den information om 0,999 ... som du sökte.

För att uppnå våra mål har vi ansträngt oss inte bara för att få fram den mest uppdaterade, begripliga och sanningsenliga informationen om 0,999 ..., utan vi har också sett till att designen, läsbarheten, laddningshastigheten och användbarheten på sidan är så trevlig som möjligt, så att du kan fokusera på det väsentliga, att känna till alla uppgifter och all information som finns om 0,999 ..., utan att behöva oroa dig för något annat, vi har redan tagit hand om det åt dig. Vi hoppas att vi har uppnått vårt syfte och att du har hittat den information du ville ha om 0,999 .... Vi välkomnar dig och uppmuntrar dig att fortsätta att njuta av att använda scientiasv.com .

I matematik , 0,999 ... (även skrivet som 0. 9 , i repeterande decimal notation ) betecknar den upprepande decimal bestående av en oändlig sekvens av 9s efter decimalkommat . Denna upprepade decimal representerar det minsta talet inte mindre än varje decimaltal i sekvensen (0,9, 0,99, 0,999, ...). Detta tal är lika med 1. Med andra ord, "0.999 ..." och "1" representerar samma tal. Det finns många sätt att visa denna jämlikhet, från intuitiva argument till matematiskt noggranna bevis . Tekniken som används beror på målgruppen, bakgrundsantaganden, historiskt sammanhang och föredragen utveckling av de reella siffrorna , systemet inom vilket 0,999 ... vanligen definieras. (I andra system kan 0,999 ... ha samma innebörd, en annan definition eller vara odefinierad.)

Mer generellt har varje icke -noll avslutande decimal två lika stora representationer (till exempel 8.32 och 8.31999 ...), vilket är en egenskap hos alla positionella numeriska systemrepresentationer oavsett bas . Den utilitaristiska preferensen för den avslutande decimalrepresentationen bidrar till missuppfattningen att det är den enda representationen. Av detta och andra skäl-till exempel strikta bevis som bygger på icke-elementära tekniker, egenskaper eller discipliner-kan vissa människor tycka att jämlikheten är tillräckligt kontraintuitiv att de ifrågasätter eller förkastar den. Detta har varit föremål för flera studier i matematikutbildning .

Elementärt bevis

Den arkimedisk egenskap : vilken som helst punkt x före mållinjen ligger mellan två av punkterna (inklusive).

Det finns ett elementärt bevis på ekvationen 0.999 ... = 1 , som bara använder de matematiska verktygen för jämförelse och tillägg av (ändliga) decimaltal , utan någon hänvisning till mer avancerade ämnen som serier , gränser , formell konstruktion av reella tal , etc. Beviset, en övning som ges av Stillwell (1994 , s. 42), är en direkt formalisering av det intuitiva faktumet att om man ritar 0,9, 0,99, 0,999, etc. på talraden finns det inget utrymme kvar för placera ett tal mellan dem och 1. Betydelsen av notationen 0.999 ... är den minsta punkten på talraden som ligger till höger om alla siffrorna 0.9, 0.99, 0.999, etc. Eftersom det i slutändan inte finns utrymme mellan 1 och dessa siffror måste punkten 1 vara den minsta punkten, och så 0,999 ... = 1 .

Intuitiv förklaring

Om man placerar 0,9, 0,99, 0,999, etc. på talraden ser man direkt att alla dessa punkter är till vänster om 1, och att de kommer närmare och närmare 1.

Mer exakt är avståndet från 0,9 till 1 0,1 = 1/10 , avståndet från 0,99 till 1 är 0,01 = 1/10 2 , och så vidare. Avståndet till 1 från n: e punkten (den med n 9s efter decimalpunkten) är 1/10 n .

Därför, om 1 inte var det minsta talet större än 0,9, 0,99, 0,999, etc., så skulle det finnas en punkt på talraden som ligger mellan 1 och alla dessa punkter. Denna punkt skulle vara på ett positivt avstånd från 1 som är mindre än 1/10 n för varje heltal n . I vanliga talsystem (de rationella tal och reella tal ), finns det inget positivt tal som är mindre än 1/10 n för alla n . Detta är (en version av) den arkimediska egenskapen , som kan bevisas hålla i systemet med rationella tal. Därför, en är det minsta antalet som är större än alla 0,9, 0,99, 0,999, etc, och så en = 0,999 ... .

Diskussion om fullständighet

En del av vad detta argument visar är att det finns den minsta övre gränsen för sekvensen 0,9, 0,99, 0,999, etc: ett minsta antal som är större än alla ordens ord. Ett av axiomen i det reella nummersystemet är fullständigheten axiom , som säger att varje begränsad sekvens har en minst övre gräns. Denna minst övre gräns är ett sätt att definiera oändliga decimaler: det verkliga talet som representeras av en oändlig decimal är den minsta övre gränsen för dess ändliga avkortningar. Argumentet här behöver inte anta fullständighet för att vara giltigt, eftersom det visar att den här sekvensen av rationella tal faktiskt har en minst övre gräns, och att den minsta övre gränsen är lika med en.

Rigoröst bevis

Den tidigare förklaringen är inte ett bevis, eftersom man inte korrekt kan definiera förhållandet mellan ett tal och dess representation som en punkt på talraden. För bevisets noggrannhet betecknas siffran 0.999 ... 9 , med n nio efter decimalpunkten, 0. (9) n . Alltså 0. (9) 1 = 0.9 , 0. (9) 2 = 0.99 , 0. (9) 3 = 0.999 , och så vidare. Som 1/10 n = 0,0 ... 01 , med n siffror efter decimalpunkten, innebär tilläggsregeln för decimalnummer

och

för varje positivt heltal n .

Man måste visa att 1 är det minsta antalet som inte är mindre än alla 0. (9) n . För detta räcker det att bevisa att om ett tal x inte är större än 1 och inte mindre än alla 0. (9) n , då x = 1 . Så låt x sådan

för varje positivt heltal n . Därför,

vilket, med hjälp av grundläggande aritmetik och den första likvärdigheten som fastställts ovan, förenklar

Detta innebär att skillnaden mellan 1 och x är mindre än inversen av ett positivt heltal. Således måste denna skillnad vara noll, och alltså x = 1 ; det är

Detta bevis bygger på det faktum att noll är det enda icke -negativa talet som är mindre än alla heltals inverser, eller motsvarande att det inte finns något tal som är större än varje heltal. Detta är den arkimediska egenskapen , som verifieras för rationella tal och reella tal . Verkliga tal kan förstoras till talsystem , till exempel hyperrealistiska tal , med oändligt små tal ( oändliga siffror ) och oändligt stora tal ( oändliga tal ). Vid användning av sådana system används notation 0.999 ... i allmänhet inte, eftersom det inte finns det minsta antal som inte är mindre än alla 0. (9) n . (Detta antyds av att 0. (9) n x <1 innebär 0. (9) n 1 2 x - 1 < x <1 ).

Algebraiska argument

Frågan om alltför förenklade illustrationer av jämlikheten är föremål för pedagogisk diskussion och kritik. Byers (2007 , s. 39) diskuterar argumentet att i grundskolan, är en lära sig att en / 3 = 0,333 ... , så ignorerar alla viktiga subtiliteter "multiplicera" denna identitet genom tre ger en = 0,999 .. . . Han säger vidare att detta argument inte är övertygande på grund av en ouppklarad oklarhet om likhetstecknets betydelse ; kan en elev tänka, "Det betyder säkert inte att siffran 1 är identisk med den som avses med noteringen 0.999 .... " De flesta grundutbildningar i matematik som Byers stöter på anser att även om 0.999 ... är "mycket nära" 1 på styrkan i detta argument, med några som till och med säger att det är "oändligt nära", är de inte redo att säga att det är lika till 1. Richman (1999) diskuterar hur "detta argument får sin kraft från att de flesta indoktrinerats för att acceptera den första ekvationen utan att tänka", men antyder också att argumentet kan få skeptiker att ifrågasätta detta antagande.

Byers presenterar också följande argument. Låta

Studenter som inte accepterade det första argumentet accepterar ibland det andra argumentet, men enligt Byers uppfattning har de fortfarande inte löst tvetydigheten och förstår därför inte representationen för oändliga decimaler. Peressini & Peressini (2007) , som presenterar samma argument, säger också att det inte förklarar jämlikheten, vilket indikerar att en sådan förklaring sannolikt skulle innebära begrepp om oändlighet och fullständighet . Baldwin & Norton (2012) , med hänvisning till Katz & Katz (2010a) , drar också slutsatsen att behandlingen av identiteten baserad på sådana argument som dessa, utan det formella begreppet gräns, är för tidig.

Samma argument ges också av Richman (1999) , som noterar att skeptiker kan ifrågasätta om x är avbokningsbart  - det vill säga om det är vettigt att subtrahera x från båda sidor.

Analytiska bevis

Eftersom frågan om 0,999 ... inte påverkar den formella utvecklingen av matematik, kan den skjutas upp tills man bevisar de verkliga analysens standardsatser . Ett krav är att karakterisera reella tal som kan skrivas i decimalnotation, bestående av ett valfritt tecken, en ändlig sekvens av en eller flera siffror som bildar en heltalsdel, en decimalavgränsare och en sekvens av siffror som bildar en bråkdel. För att diskutera 0.999 ... kan heltalet summeras som b 0 och man kan försumma negativ, så en decimal expansion har formen

Fraktionsdelen, till skillnad från heltalet, är inte begränsad till oändligt många siffror. Detta är en positionsnotering , så till exempel bidrar siffran 5 på 500 tio gånger så mycket som 5 på 50, och 5 på 0,05 bidrar med en tiondel så mycket som 5 i 0,5.

Oändliga serier och sekvenser

En vanlig utveckling av decimaler är att definiera dem som summor av oändliga serier . I allmänhet:

För 0.999 ... kan man tillämpa konvergenssatsen om geometriska serier :

Om då

Eftersom 0.999 ... är en sådan summa med a = 9 och gemensamt förhållande r = 1 / 10 , gör satsen kort frågan:

Detta bevis verkar så tidigt som 1770 i Leonhard Euler 's Elements of Algebra .

Gränser: Enhetsintervallet, inklusive bas-4- fraktionssekvensen (.3, .33, .333, ...) som konvergerar till 1.

Summan av en geometrisk serie är i sig ett resultat som är ännu äldre än Euler. En typisk avledning från 1700-talet använde en term-för-term-manipulation som liknade det algebraiska beviset ovan, och så sent som 1811 använder Bonnycastles lärobok An Introduction to Algebra ett sådant argument för geometriska serier för att motivera samma manöver 0.999. En reaktion från 1800-talet mot sådana liberala summeringsmetoder resulterade i den definition som fortfarande dominerar idag: summan av en serie definieras som gränsen för sekvensen av dess partiella summor. Ett motsvarande bevis på satsen beräknar uttryckligen den sekvensen; det finns i alla bevisbaserade introduktioner till kalkyl eller analys.

En sekvens ( x 0 , x 1 , x 2 , ...) har en gräns x om avståndet | x  -  x n | blir godtyckligt liten när n ökar. Påståendet att 0,999 ... = 1 kan i sig tolkas och bevisas som en gräns:

De två första likheterna kan tolkas som symboliska stenografidefinitioner. De återstående likheterna kan bevisas. Det sista steget, att 1 / 10 n 0 som n , är ofta motiverat av den arkimediska egenskapen för de reella talen. Denna gränsbaserade inställning till 0,999 ... uttrycks ofta mer stämningsfullt men mindre exakt. Till exempel förklarar läroboken 1846 The University Arithmetic , ".999 +, fortsatte till oändlighet = 1, eftersom varje bilaga av en 9 för värdet närmare 1"; 1895: s aritmetik för skolor säger, "när ett stort antal 9: or tas, blir skillnaden mellan 1 och .99999 ... otänkbart liten". Sådana heuristik tolkas ofta felaktigt av studenter som att det innebär att 0,999 ... i sig är mindre än 1.

Kapslade intervaller och minst övre gränser

Seriedefinitionen ovan är ett enkelt sätt att definiera det reella talet som heter en decimal expansion. Ett kompletterande tillvägagångssätt är skräddarsytt för den motsatta processen: för ett givet reellt tal, definiera decimaler (s) för att namnge det.

Om ett verkligt tal x är känt för att ligga i det slutna intervallet [0, 10] (dvs det är större än eller lika med 0 och mindre än eller lika med 10) kan man tänka sig att dela det intervallet i tio bitar som endast överlappar varandra vid deras slutpunkter: [0, 1], [1, 2], [2, 3], och så vidare upp till [9, 10]. Talet x måste tillhöra en av dessa; om den tillhör [2, 3] registrerar man siffran "2" och delar upp det intervallet i [2, 2.1], [2.1, 2.2], ..., [2.8, 2.9], [2.9, 3]. Att fortsätta denna process ger en oändlig sekvens av kapslade intervall , märkta med en oändlig sekvens av siffror b 0 , b 1 , b 2 , b 3 , ..., och man skriver

I denna formalism speglar identiteterna 1 = 0,999 ... och 1 = 1.000 ... det faktum att 1 ligger i både [0, 1] och [1, 2], så man kan välja antingen delintervall när man hittar dess siffror. För att säkerställa att denna notering inte missbrukar "=" -tecknet behöver man ett sätt att rekonstruera ett unikt reellt tal för varje decimal. Detta kan göras med begränsningar, men andra konstruktioner fortsätter med beställningstemat.

Ett enkelt val är de kapslade intervallssatsen , som garanterar att med en sekvens av kapslade, stängda intervall vars längder blir godtyckligt små, innehåller intervallen exakt ett reellt tal i deras skärningspunkt . Så b 0 . b 1 b 2 b 3 ... definieras som det unika talet som finns inom alla intervall [ b 0 , b 0 + 1], [ b 0 . b 1 , b 0 . b 1 + 0,1], och så vidare. 0,999 ... är då det unika reella talet som ligger i alla intervall [0, 1], [0,9, 1], [0,99, 1] och [0,99 ... 9, 1] för varje ändlig sträng av 9s. Eftersom 1 är ett element i vart och ett av dessa intervall, 0.999 ... = 1.

The Nested Intervals Theorem baseras vanligtvis på en mer grundläggande egenskap hos de verkliga talen: förekomsten av minst övre gränser eller suprema . För att direkt utnyttja dessa objekt kan man definiera b 0 . b 1 b 2 b 3 ... för att vara den minsta övre gränsen för uppsättningen approximanter { b 0 , b 0 . b 1 , b 0 . b 1 b 2 , ...}. Man kan då visa att denna definition (eller definitionen av kapslade intervall) överensstämmer med uppdelningsförfarandet, vilket innebär 0,999 ... = 1 igen. Tom Apostol avslutar,

Det faktum att ett reellt tal kan ha två olika decimalrepresentationer är bara en återspegling av det faktum att två olika uppsättningar av reella tal kan ha samma överlägsenhet.

Bevis från konstruktionen av de verkliga siffrorna

Vissa tillvägagångssätt definierar uttryckligen reella tal som vissa strukturer som bygger på de rationella talen , med hjälp av axiomatisk uppsättningsteori . De naturliga talen  - 0, 1, 2, 3, och så vidare - börjar med 0 och fortsätter uppåt, så att varje tal har en efterträdare. Man kan förlänga de naturliga talen med sina negativa för att ge alla heltal , och att ytterligare utvidga till förhållanden, vilket ger de rationella talen . Dessa nummersystem åtföljs av aritmetiken för addition, subtraktion, multiplikation och division. Mer subtilt inkluderar de ordning , så att ett tal kan jämföras med ett annat och konstateras vara mindre än, större än eller lika med ett annat tal.

Steget från rationaler till real är en stor förlängning. Det finns minst två populära sätt att uppnå detta steg, båda publicerade 1872: Dedekind -snitt och Cauchy -sekvenser . Bevis på att 0,999 ... = 1 som direkt använder dessa konstruktioner finns inte i läroböcker om verklig analys, där den moderna trenden under de senaste decennierna har varit att använda en axiomatisk analys. Även när en konstruktion erbjuds, används den vanligtvis för att bevisa axiomen för de reella talen, som sedan stöder ovanstående bevis. Flera författare uttrycker dock tanken att att börja med en konstruktion är mer logiskt lämpligt och att de resulterande bevisen är mer fristående.

Dedekind skär

I Dedekind cut -metoden definieras varje reellt tal x som den oändliga uppsättningen av alla rationella tal mindre än x . I synnerhet är den verkliga siffran 1 uppsättningen av alla rationella tal som är mindre än 1. Varje positiv decimalexpansion bestämmer enkelt en Dedekind -snitt: mängden rationella tal som är mindre än något steg i expansionen. Så det verkliga talet 0.999 ... är mängden rationella tal r så att r <0, eller r <0.9, eller r <0.99, eller r är mindre än något annat tal i formen

Varje element på 0,999 ... är mindre än 1, så det är ett element i det reella talet 1. Omvänt är alla element i 1 rationella tal som kan skrivas som

med b > 0 och b > a . Detta innebär

och sålunda

och sedan

enligt definitionen ovan är varje element i 1 också ett element på 0.999 ..., och i kombination med beviset ovan att varje element på 0.999 ... också är ett element av 1, innehåller uppsättningarna 0.999 ... och 1 samma rationella tal, och är därför samma uppsättning, det vill säga 0,999 ... = 1.

Definitionen av reella tal som Dedekind -nedskärningar publicerades första gången av Richard Dedekind 1872. Ovanstående tillvägagångssätt för att tilldela ett reellt tal till varje decimalutvidgning beror på ett dokument med titeln "Är 0.999 ... = 1" av Fred Richman i Mathematics Magazine , som riktar sig till lärare i kollegial matematik, särskilt på junior/senior nivå, och deras elever. Richman noterar att det tar samma resultat att ta Dedekind -nedskärningar i en tät delmängd av de rationella siffrorna; i synnerhet använder han decimalbråk , för vilka beviset är mer omedelbart. Han noterar också att definitionerna vanligtvis tillåter att {x: x <1} är ett snitt men inte {x: x 1} (eller vice versa) "Varför gör det Just för att utesluta förekomsten av distinkta tal 0,9* och 1. [...] Så vi ser att i den traditionella definitionen av de reella talen är ekvationen 0,9* = 1 inbyggd i början. " En ytterligare modifiering av proceduren leder till en annan struktur där de två inte är lika. Även om det är konsekvent håller många av de gemensamma reglerna för decimalräkning inte längre, till exempel har bråk 1 3 ingen representation; se " Alternativa nummersystem " nedan.

Cauchy sekvenser

Ett annat tillvägagångssätt är att definiera ett reellt tal som gränsen för en Cauchy -sekvens av rationella tal . Denna konstruktion av de reella talen använder ordningen av rationaler mindre direkt. Först definieras avståndet mellan x och y som det absoluta värdet | x  -  y |, där det absoluta värdet | z | definieras som maximalt för z och - z , alltså aldrig negativt. Sedan definieras realerna som sekvenserna av rationaler som har Cauchy -sekvensegenskapen med detta avstånd. Det vill säga i sekvensen ( x 0 , x 1 , x 2 , ...), en kartläggning från naturliga tal till rationaler, för alla positiva rationella finns det ett N så att | x m  -  x n |   ö för alla m , n  >  N . (Avståndet mellan termer blir mindre än någon positiv rationell.)

Om ( x n ) och ( y n ) är två Cauchy -sekvenser definieras de som lika med reella tal om sekvensen ( x n  -  y n ) har gränsen 0. Trunkeringar av decimaltalet b 0 . b 1 b 2 b 3 ... generera en sekvens av rationaler som är Cauchy; detta tas för att definiera det verkliga värdet av talet. Således i denna formalism är uppgiften att visa att sekvensen av rationella tal

har gränsen 0. Med tanke på den n: e termen i sekvensen, för n , måste det därför visas att

Denna gräns är klar om man förstår definitionen av gräns . Så igen 0.999 ... = 1.

Definitionen av reella siffror som Cauchy -sekvenser publicerades först separat av Eduard Heine och Georg Cantor , också 1872. Ovanstående tillvägagångssätt för decimalutvidgningar, inklusive beviset att 0,999 ... = 1, följer noga Griffiths & Hiltons arbete från 1970 Ett omfattande lärobok i klassisk matematik: En samtida tolkning . Boken är skriven specifikt för att ge en andra titt på välbekanta begrepp i ett samtida ljus.

Oändlig decimalrepresentation

Vanligtvis i gymnasieskolans matematikutbildning konstrueras de reella talen genom att definiera ett tal med hjälp av ett heltal följt av en radixpunkt och en oändlig sekvens som skrivs ut som en sträng för att representera bråkdelen av ett givet reellt tal. I denna konstruktion är uppsättningen av valfri kombination av ett heltal och siffror efter decimalpunkten (eller radixpunkt i icke-bas 10-system) uppsättningen av reella tal. Denna konstruktion kan noggrant visas för att tillfredsställa alla de verkliga axiomen efter att ha definierat ett ekvivalensförhållande över uppsättningen som definierar 1 = ekv 0,999 ... liksom för alla andra noll decimaler med endast oändligt många icke -noll termer i decimalsträngen med dess efter 9 -versionen. Med denna konstruktion av realerna kan alla bevis för påståendet "1 = 0,999 ..." ses som implicit anta jämlikhet när alla operationer utförs på de reella talen.

Tät ordning

En av föreställningarna som kan lösa problemet är kravet på att reella tal är tätt ordnade. Studenter tar för givet som tidigare medan denna typ av intuitiv ordning bättre definieras som rent lexikografisk.

"... ordningen av de reella talen erkänns som en tät ordning. Men beroende på sammanhanget kan eleverna förena den här egenskapen med förekomsten av siffror strax före eller efter ett givet tal (0,999 ... ses därför ofta som föregångaren till 1). "

Tät ordning kräver att det finns ett tredje verkligt värde strikt mellan och , men det finns inget: vi kan inte ändra en enda siffra i någon av de två för att få ett sådant tal. Om och ska representera reella tal måste de vara lika. Tät ordning innebär att om det inte finns något nytt element strikt mellan två element i uppsättningen måste de två elementen anses vara lika.

Generaliseringar

Resultatet att 0,999 ... = 1 generaliserar lätt på två sätt. För det första har varje icke -nolltal med en ändlig decimalnotation (motsvarande oändliga efterföljande 0: or) en motsvarighet med efterföljande 9: or. Till exempel är 0,24999 ... lika med 0,25, precis som i det särskilda fallet. Dessa siffror är exakt decimalbråk, och de är täta .

För det andra gäller en jämförbar sats i varje radix eller bas . Till exempel, i bas 2 (det binära siffrasystemet ) 0,111 ... är lika med 1, och i basen 3 (det ternära nummersystemet ) 0,222 ... är lika med 1. I allmänhet har varje avslutande bas b -uttryck en motsvarighet med upprepad efterföljande siffror lika med b - 1. Läroböcker i verklig analys kommer sannolikt att hoppa över exemplet på 0,999 ... och presentera en eller båda av dessa generaliseringar från början.

Alternativa representationer av 1 förekommer också i icke-heltal baser. Till exempel i den gyllene snittbasen är de två standardrepresentationerna 1.000 ... och 0.101010 ..., och det finns oändligt många fler representationer som inkluderar intilliggande 1: or. Generellt, för nästan alla q mellan 1 och 2, finns det otaligt många bas- q- utökningar av 1. Å andra sidan finns det fortfarande otaligt många q (inklusive alla naturliga tal större än 1) för vilka det bara finns en bas- q expansion på 1, annat än den triviala 1.000 .... Detta resultat erhölls först av Paul Erds , Miklos Horváth och István Joó omkring 1990. 1998 bestämde Vilmos Komornik och Paola Loreti den minsta basen, Komornik Loreti -konstanten q = 1.787231650 .... I denna bas, 1 = 0.11010011001011010010110011010011 ...; siffrorna ges av Thue Morse -sekvensen , som inte upprepas.

En mer långtgående generalisering riktar sig till de mest allmänna positionella numeriska systemen . Även de har flera representationer, och på något sätt är svårigheterna ännu värre. Till exempel:

  • I viktad ternära systemet, 1 / två = 0,111 ... = 1. 111 ....
  • I det omvända faktorsystemet (med baserna 2!, 3!, 4!, ... för positioner efter decimalpunkten), 1 = 1.000 ... = 0.1234 ....

Omöjlighet till unik representation

Att alla dessa olika talsystem lider av flera representationer för vissa reella tal kan hänföras till en grundläggande skillnad mellan de reella talen som en ordnad uppsättning och samlingar av oändliga symbolsträngar, ordnade på leksikografiskt . Följande två fastigheter svarar för svårigheten:

  • Om en intervall av de reella talen är partitionerad i två icke-tomma delar L , R , så att varje element i L är (strängt) mindre än varje element i R , då antingen L innehåller en största elementet eller R innehåller en minsta elementet, men inte båda.
  • Samlingen av oändliga symbolsträngar hämtade från alla ändliga "alfabet", leksikografiskt ordnade, kan delas upp i två icke-tomma delar L , R , så att varje element i L är mindre än varje element i R , medan L innehåller ett största element och R innehåller ett minsta element. Det räcker faktiskt med att ta två ändliga prefix (initiala substrings) p 1 , p 2 av element från samlingen så att de endast skiljer sig i sin slutliga symbol, för vilken symbol de har successiva värden, och tar för L uppsättningen av alla strängar i samlingen vars motsvarande prefix är högst p 1 , och för R resten, strängarna i samlingen vars motsvarande prefix är minst p 2 . Sedan har L ett största element, som börjar med p 1 och väljer den största tillgängliga symbolen i alla följande positioner, medan R har ett minsta element som erhålls genom att följa p 2 med den minsta symbolen i alla positioner.

Den första punkten följer av de grundläggande egenskaperna hos de reella talen: L har ett överläge och R har ett infimum , som lätt kan ses vara lika; eftersom det är ett reellt tal ligger det antingen i R eller i L , men inte både eftersom L och R ska vara osammanhängande . Den andra punkten generaliserar 0.999 .../1.000 ... paret som erhållits för p 1  = "0", p 2  = "1". I själva verket behöver man inte använda samma alfabet för alla positioner (så att blandade radixsystem kan inkluderas) eller överväga hela samlingen av möjliga strängar; de enda viktiga punkterna är att man vid varje position kan välja mellan en ändlig uppsättning symboler (som till och med kan bero på de tidigare symbolerna) (detta behövs för att säkerställa maximala och minimala val), och att göra ett giltigt val för vilken position som helst resultera i en giltig oändlig sträng (så man bör inte tillåta "9" i varje position medan man förbjuder en oändlig följd av "9" s). Under dessa antaganden visar ovanstående argument att en ordning som bevarar kartan från strängsamlingen till ett intervall av de reella talen inte kan vara en biektion : antingen motsvarar vissa nummer inte någon sträng, eller så svarar några av dem till mer än en sträng .

Marko Petkovek har bevisat att för alla positionella system som namnger alla de reella siffrorna är uppsättningen realer med flera representationer alltid tät. Han kallar beviset "en lärorik övning i elementär punktuppsatt topologi "; det innebär att man ser uppsättningar av positionsvärden som stenrum och märker att deras verkliga representationer ges av kontinuerliga funktioner .

Ansökningar

En tillämpning av 0,999 ... som en representation av 1 förekommer i elementär talteori . År 1802 publicerade H. Goodwin en observation om 9- talens utseende i repeterande decimalrepresentationer av fraktioner vars nämnare är vissa primtal . Exempel inkluderar:

  • 1 7 = 0. 142857 och 142 + 857 = 999.
  • 1 73 = 0. 01369863 och 0136 + 9863 = 9999.

E. Midy bevisade ett generellt resultat om sådana fraktioner, nu kallade Midys teorem , 1836. Publikationen var oklar, och det är oklart om hans bevis direkt involverade 0,999 ..., men minst ett modernt bevis av WG Leavitt gör det. Om det kan bevisas att om en decimal av formen 0. b 1 b 2 b 3 ... är ett positivt heltal, måste det vara 0,999 ..., som då är källan till 9: orna i satsen. Undersökningar i denna riktning kan motivera sådana begrepp som största gemensamma divisorer , modulär aritmetik , Fermat primtal , ordning av gruppelement och kvadratisk reciprocitet .

Tillbaka till verklig analys, bas-3-analogen 0.222 ... = 1 spelar en nyckelroll i en karakterisering av en av de enklaste fraktalerna , den mellersta tredjedels Cantor-uppsättningen :

  • En punkt i enhetsintervallet ligger i Cantor -uppsättningen om och bara om den kan representeras i ternär med bara siffrorna 0 och 2.

Den n : te siffran i Diagrammet visar den läget för den punkt i det n : te steget av konstruktionen. Till exempel ges punkt 2 3 den vanliga representationen 0,2 eller 0,2000 ..., eftersom den ligger till höger om den första raderingen och till vänster om varje radering därefter. Punkten 1 / 3 representeras inte som 0,1 utan som 0,0222 ..., eftersom den ligger till vänster om den första raderingen och till höger om varje radering därefter.

Upprepande nior dyker också upp i ytterligare ett av Georg Cantors verk. De måste beaktas för att konstruera ett giltigt bevis, tillämpa hans 1891 diagonal argument till decimal expansioner av uncountability av enheten intervallet. Ett sådant bevis måste kunna deklarera vissa par reella tal för att vara olika baserat på deras decimalutvidgningar, så man måste undvika par som 0,2 och 0,1999 ... En enkel metod representerar alla tal med icke -avslutande expansioner; den motsatta metoden utesluter upprepade nior. En variant som kan vara närmare Cantors ursprungliga argument använder faktiskt bas 2, och genom att göra bas-3-expansioner till bas-2-expansioner kan man bevisa att Cantor-uppsättningen också kan räknas.

Skepticism i utbildningen

Studerande i matematik avvisar ofta likvärdigheten 0,999 ... och 1, av skäl som sträcker sig från deras olika utseende till djupa funderingar över gränsbegreppet och oenigheter om oändligheternas natur . Det finns många vanliga bidragande faktorer till förvirringen:

  • Studenter är ofta "mentalt engagerade i tanken att ett tal kan representeras på ett och bara ett sätt med en decimal". Att se två uppenbarligen olika decimaler som representerar samma tal verkar vara en paradox , vilket förstärks av utseendet på det till synes väl förstådda numret 1.
  • Vissa elever tolkar "0,999 ..." (eller liknande notation) som en stor men ändlig sträng med 9: or, möjligen med en variabel, ospecificerad längd. Om de accepterar en oändlig rad nio kan de fortfarande förvänta sig en sista 9 "i oändlighet".
  • Intuition och tvetydig undervisning leder eleverna att tänka på gränsen för en sekvens som en slags oändlig process snarare än ett fast värde, eftersom en sekvens inte behöver nå sin gräns. Där elever accepterar skillnaden mellan en sekvens av siffror och dess gräns kan de läsa "0.999 ..." som betyder sekvensen snarare än dess gräns.

Dessa idéer är felaktiga i samband med standardvärdena, även om vissa kan vara giltiga i andra nummersystem, antingen uppfunna för deras allmänna matematiska användbarhet eller som lärorika motexempel för att bättre förstå 0.999 ...

Många av dessa förklaringar hittades av David Tall , som har studerat egenskaper hos undervisning och kognition som leder till några av de missförstånd han har stött på hos sina studenter. Genom att intervjua sina elever för att avgöra varför de allra flesta till en början avvisade jämlikheten fann han att "eleverna fortsatte att tänka sig 0,999 ... som en sekvens av siffror som kommer närmare och närmare 1 och inte ett fast värde, för" du har inte specificerat hur många platser det finns 'eller' det är närmaste möjliga decimal under 1 ' ".

Grundargumentet att multiplicera 0,333 ... = 1 3 med 3 kan övertyga motvilliga elever om att 0,999 ... = 1. Men när de konfronteras med konflikten mellan deras tro på den första ekvationen och deras misstro till den andra, kan vissa studenter antingen börja misstro den första ekvationen eller helt enkelt bli frustrerad. Inte heller är mer sofistikerade metoder idiotsäkra: studenter som fullt ut kan tillämpa strikta definitioner kan fortfarande falla tillbaka på intuitiva bilder när de blir överraskade av ett resultat i avancerad matematik, inklusive 0.999 .... Till exempel kunde en riktig analysstudent bevisa att 0,333 ... = 1 3 med hjälp av en överordnad definition, men insisterade sedan på att 0,999 ... <1 baserat på hennes tidigare förståelse av lång division. Andra kan fortfarande bevisa att 1 3 = 0,333 ..., men när de konfronteras med fraktionsbeviset insisterar de på att "logik" ersätter de matematiska beräkningarna.

Joseph Mazur berättar om en annars lysande kalkylelev av honom som "utmanade nästan allt jag sa i klassen men aldrig ifrågasatte sin miniräknare", och som hade kommit att tro att nio siffror är allt man behöver göra matematik, inklusive beräkning av kvadraten roten av 23. Eleven förblev obekväm med ett begränsande argument att 9,99 ... = 10, kallade det en "vildt inbillad oändlig växande process."

Som en del av Ed Dubinskys APOS -teori om matematiskt lärande föreslår han och hans medarbetare (2005) att elever som tänker sig 0,999 ... som en ändlig, obestämd sträng med ett oändligt litet avstånd från 1 "ännu inte har konstruerat en fullständig processuppfattning" av den oändliga decimalen ". Andra studenter som har en fullständig processuppfattning på 0,999 ... kanske ännu inte kan "inkapsla" den processen till en "objektuppfattning", som objektuppfattningen de har av 1, och så ser de processen 0,999 ... och objektet 1 som inkompatibelt. Dubinsky et al. också länka denna mentala förmåga inkapsling till visning 1 / 3 som ett tal i sin egen rätt och att hantera den uppsättning av naturliga tal som helhet.

Kulturellt fenomen

Med Internetets framväxt har debatter om 0,999 ... blivit vanliga i nyhetsgrupper och anslagstavlor , inklusive många som nominellt har lite att göra med matematik. I nyhetsgruppen sci.math , argumenteras över 0,999 ... beskrivs som en "populär sport", och det är en av frågorna som besvaras i dess vanliga frågor . Vanliga kortfattat omfattar ett / tre , multiplikation med 10, och gränser, och det syftar på Cauchy-sekvenser också.

En utgåva från 2003 av allmänhetens tidningskolumn The Straight Dope diskuterar 0,999 ... via 1 3 och gränser, säger om missuppfattningar,

Den lägre primaten i oss motstår fortfarande och säger: .999 ~ representerar alltså inte riktigt ett tal , utan en process . För att hitta ett tal måste vi stoppa processen, vid vilken tidpunkt .999 ~ = 1 saknar sönder. Dumheter.

En artikel från Skiffer rapporterar att begreppet 0,999 ... är "starkt omtvistat på webbplatser som sträcker sig från World of Warcraft -anslagstavlor till Ayn Rand -forum". I samma anda, frågan om 0,999 ... visade en sådan populärt ämne under de första sju åren av Blizzard Entertainment : s Battle.net forum som företaget utfärdat ett 'press release' på April Fools 'Day 2004 att det är en :

Vi är mycket glada över att stänga boken om detta ämne en gång för alla. Vi har bevittnat hjärtesorg och oro över om .999 ~ inte är lika med 1, och vi är stolta över att följande bevis slutligen och slutgiltigt behandlar problemet för våra kunder.

Två bevis erbjuds sedan, baserat på gränser och multiplikation med 10.

0.999 ... funktioner också i matematiska skämt , till exempel:

F: Hur många matematiker krävs för att skruva i en glödlampa

A: 0.999999 ....

I alternativa nummersystem

Även om de reella talen utgör ett extremt användbart nummersystem , är beslutet att tolka notationen "0.999 ..." som att namnge ett reellt tal i slutändan en konvention, och Timothy Gowers argumenterar i Mathematics: A Very Short Introduction att den resulterande identiteten 0.999. .. = 1 är också en konvention:

Det är emellertid inte på något sätt en godtycklig konvention, för att inte anta den tvingar en antingen att uppfinna konstiga nya föremål eller att överge några av de välkända aritmetiska reglerna.

Man kan definiera andra nummersystem med olika regler eller nya objekt; i vissa sådana nummersystem skulle ovanstående bevis behöva tolkas på nytt och man kan upptäcka att i ett givet nummersystem, 0,999 ... och 1 kanske inte är identiska. Många nummersystem är dock förlängningar av det reella nummersystemet (snarare än oberoende alternativ till det), så 0,999 ... = 1 fortsätter att hålla. Även i sådana nummersystem är det dock värt att undersöka alternativa nummersystem, inte bara för hur 0,999 ... beter sig (om verkligen ett tal uttryckt som "0,999 ..." är både meningsfullt och entydigt), utan också för beteendet hos relaterade fenomen. Om sådana fenomen skiljer sig från dem i det verkliga nummersystemet måste minst ett av antagandena som är inbyggda i systemet bryta ner.

Oändliga

Några bevis på att 0,999 ... = 1 förlitar sig på den arkimediska egenskapen för de reella talen: att det inte finns några noll -oändliga siffror . Specifikt måste skillnaden 1 - 0.999 ... vara mindre än något positivt rationellt tal, så det måste vara en oändlig liten; men eftersom realerna inte innehåller oändliga oändliga siffror är skillnaden därför noll, och därför är de två värdena desamma.

Det finns dock matematiskt sammanhängande ordnade algebraiska strukturer , inklusive olika alternativ till de reella talen, som är icke-arkimediska. Icke-standardiserad analys ger ett nummersystem med en hel rad infinitesimaler (och deras inverser). AH Lightstone utvecklade en decimal expansion för hyperrealistiska tal i (0, 1) . Lightstone visar hur man kopplar till varje nummer en sekvens av siffror,

indexeras av de hypernaturala siffrorna. Även om han inte direkt diskutera 0,999 ... visar han det verkliga antalet 1 / 3 representeras av 0,333 ...; ... 333 ... som är en följd av principen om överföring . Som en konsekvens är talet 0.999 ...; ... 999 ... = 1. Med denna typ av decimalrepresentation representerar inte varje expansion ett tal. I synnerhet "0,333 ...; ... 000 ..." och "0,999 ...; ... 000 ..." motsvarar inte något tal.

Standarddefinitionen för talet 0.999 ... är gränsen för sekvensen 0.9, 0.99, 0.999, ... En annan definition innebär vad Terry Tao hänvisar till som ultralimit , dvs ekvivalensklassen [(0.9, 0.99, 0.999, ...)] av denna sekvens i ultrakraftkonstruktionen , som är ett tal som faller under 1 med en oändlig mängd. Mer allmänt uppfyller det hyperrealistiska talet u H = 0,999 ...; ... 999000 ..., med sista siffran 9 vid oändlig hypernaturlig rang H , en strikt ojämlikhet u H <1. Följaktligen följde en alternativ tolkning för "noll" med oändligt många 9 -tal "kan vara

Alla sådana tolkningar av "0.999 ..." är oändligt nära 1. Ian Stewart karakteriserar denna tolkning som ett "helt rimligt" sätt att noggrant motivera intuitionen att "det saknas lite" från 1 på 0.999 .... med Katz & Katz ifrågasätter Robert Ely också antagandet att elevernas idéer om 0.999 ... <1 är felaktiga intuitioner om de verkliga siffrorna, tolkar dem snarare som icke -standardiserade intuitioner som kan vara värdefulla vid inlärning av kalkyl. Jose Benardete i sin bok Infinity: An essay in metaphysics hävdar att vissa naturliga pre-matematiska intuitioner inte kan uttryckas om man är begränsad till ett alltför restriktivt nummersystem:

Kontinuitetens begriplighet har funnits - många gånger över - att kräva att domänen för verkliga tal förstoras till att inkludera oändliga siffror. Denna förstorade domän kan utformas som domän för kontinuumtal. Det kommer nu att vara uppenbart att .9999 ... inte är lika med 1 utan att det blir oändligt kort under det. Jag tror att .9999 ... verkligen borde antas som ett nummer ... fast inte som ett reellt tal.

Hackenbush

Kombinerande spelteori ger också alternativa realiteter, med oändligt blå-röd Hackenbush som ett särskilt relevant exempel. År 1974 beskrev Elwyn Berlekamp en korrespondens mellan Hackenbush -strängar och binära utvidgningar av reella tal, motiverade av tanken på datakomprimering . Till exempel är värdet på Hackenbush -strängen LRRLRLRL ... 0,010101 2 ... =  1 3 . Värdet på LRLLL ... (motsvarande 0,111 ... 2 ) är dock oändligt mindre än 1. Skillnaden mellan de två är det surrealistiska talet 1 , där är den första oändliga ordinalen ; det relevanta spelet är LRRRR ... eller 0,000 ... 2 .

Detta är faktiskt sant för de binära utvidgningarna av många rationella tal, där värdena på siffrorna är lika men motsvarande binära trädvägar är olika. Till exempel 0,10111 ... 2  = 0,11000 ... 2 , som båda är lika med 3/4, men den första representationen motsvarar den binära trädvägen LRLRLLL ... medan den andra motsvarar den olika vägen LRLLRRR ... .

Återbesöker subtraktion

Ett annat sätt på vilket bevisen kan undermineras är om 1 - 0.999 ... helt enkelt inte existerar, eftersom subtraktion inte alltid är möjlig. Matematiska strukturer med en additionsoperation men inte en subtraktionsoperation inkluderar kommutativa semigrupper , kommutativa monoider och semirings . Richman överväger två sådana system, utformade så att 0,999 ... <1.

Först definierar Richman ett icke -negativt decimaltal som en bokstavlig decimal expansion. Han definierar den lexikografiska ordningen och en tilläggsoperation och noterar att 0,999 ... <1 helt enkelt för att 0 <1 på en plats, men för alla icke -avslutande x har man 0,999 ... +  x  = 1 +  x . Så en särdrag hos decimaltalen är att tillägg inte alltid kan avbrytas; ett annat är att inget decimaltal motsvarar 1 3 . Efter att ha definierat multiplikation bildar decimaltalen en positiv, helt ordnad, kommutativ semering.

I processen att definiera multiplikation definierar Richman också ett annat system som han kallar "cut D ", som är uppsättningen Dedekind -snitt av decimalbråk. Vanligtvis leder denna definition till de reella talen, men för en decimal bråk d tillåter han både snittet (,  d ) och "huvudsnittet" (,  d ]. Resultatet är att de reella talen "lever oroligt" tillsammans med "decimalfraktionerna. Återigen 0.999 ... <1. Det finns inga positiva oändliga siffror i snitt D , men det finns" en slags negativ infinitesimal ", 0 - , som inte har någon decimal expansion. Han drar slutsatsen att 0.999 .. . = 1 + 0 - , medan ekvationen "0.999 ... + x = 1" inte har någon lösning.

p -adiska tal

På frågan om 0.999 ... tror nybörjare ofta att det borde finnas en "sista 9", som tror 1 - 0.999 ... är ett positivt tal som de skriver som "0.000 ... 1". Oavsett om det är meningsfullt eller inte, är det intuitiva målet klart: att lägga till en 1 till sista 9 på 0.999 ... skulle bära alla 9: orna till 0: or och lämna en 1: a på en plats. Bland andra skäl misslyckas denna idé eftersom det inte finns någon "slutlig 9" på 0.999 .... Det finns dock ett system som innehåller en oändlig sträng av 9: or inklusive en sista 9.

De p -adiska talen är ett alternativt talsystem av intresse för talteori . Precis som de reella talen kan de p -adiska talen byggas från de rationella talen via Cauchy -sekvenser ; konstruktionen använder ett annat mått där 0 är närmare p , och mycket närmare p n , än det är till 1. De p -adiska talen bildar ett fält för primtal p och en ring för andra p , inklusive 10. Så aritmetik kan utföras i p -adics, och det finns inga oändliga siffror.

I de 10-adiska siffrorna går analogerna till decimalutvidgningar till vänster. Den 10-adiska expansionen ... 999 har en sista 9, och den har inte en första 9. Man kan lägga till 1 till platsen, och den lämnar bara 0: or efter att ha genomfört: 1 + ... 999 = ... 000 = 0, och så ... 999 = 1. En annan härledning använder en geometrisk serie. Den oändliga serien som antyds av "... 999" konvergerar inte i de reella talen, men den konvergerar i 10-adics, och så kan man återanvända den välbekanta formeln:

(Jämför med serien ovan .) En tredje härledning uppfanns av en sjundeklassare som tvivlade på hennes lärares begränsande argument att 0,999 ... = 1 men inspirerades att ta multiplicera med 10-beviset ovan i motsatt riktning : om x  = ... 999 då 10 x  = ... 990, så 10 x  =  x  - 9, därav x  = 1 igen.

Som en sista förlängning, sedan 0.999 ... = 1 (i realen) och ... 999 = 1 (i 10-adics), sedan kan man genom "blind tro och oförskämt jonglering av symboler" lägga till de två ekvationerna och komma fram till ... 999.999 ... = 0. Denna ekvation är vettig varken som en 10-adisk expansion eller en vanlig decimal expansion, men det visar sig vara meningsfullt och sant i den dubbel oändliga decimal expansionen av 10 -adisk solenoid , med så småningom upprepade vänstra ändar för att representera de verkliga talen och så småningom upprepa höger ändar för att representera de 10-adiska talen.

Ultrafinitism

Ultrafinitismens filosofi förkastar som meningslösa begrepp som handlar om oändliga uppsättningar, till exempel tanken på att notationen kan stå för ett decimaltal med en oändlig sekvens av nio , samt summeringen av oändligt många tal som motsvarar decimalernas positionvärden i den oändliga strängen. I detta tillvägagångssätt för matematik är bara ett visst (fast) antal ändliga decimaler meningsfullt. I stället för "jämlikhet" har man "ungefärlig jämlikhet", vilket är jämlikhet upp till antalet decimaler som man får beräkna. Även om Katz och Katz hävdar att ultrafinitism kan fånga studentintuitionen att 0,999 ... borde vara mindre än 1, åtnjuter ultrafinitismens idéer inte omfattande acceptans i det matematiska samhället, och filosofin saknar en allmänt överenskommen formell matematisk grund .

Relaterade frågor

  • Zenos paradoxer , särskilt löparens paradox, påminner om den uppenbara paradoxen att 0,999 ... och 1 är lika. Löparparadoxen kan matematiskt modelleras och sedan, som 0,999 ..., lösas med hjälp av en geometrisk serie. Det är dock inte klart om denna matematiska behandling tar upp de underliggande metafysiska frågorna Zeno utforskade.
  • Division med noll förekommer i några populära diskussioner om 0,999 ..., och det väcker också stridigheter. Medan de flesta författare väljer att definiera 0,999 ..., lämnar nästan alla moderna behandlingar uppdelning med noll odefinierad, eftersom det inte kan ges någon mening i de vanliga reella siffrorna. Delning med noll definieras dock i vissa andra system, såsom komplex analys , där det förlängda komplexa planet , dvs Riemann -sfären , har en " punkt i oändlighet ". Här är det vettigt att definiera 1 0 som oändlighet; och i själva verket är resultaten djupgående och tillämpliga på många problem inom teknik och fysik. Vissa framstående matematiker argumenterade för en sådan definition långt innan antingen nummersystem utvecklades.
  • Negativ nolla är en annan redundant egenskap hos många sätt att skriva siffror. I nummersystem, till exempel de reella talen, där "0" betecknar den additiva identiteten och varken är positiv eller negativ, är den vanliga tolkningen av "0" att den ska beteckna additiv invers av 0, vilket tvingar 0 = 0 .Vissa vetenskapliga tillämpningar använder dock separata positiva och negativa nollor, liksom vissa datorsystem för binära tal (till exempel heltal lagrade i tecknet och storleken eller ettas komplementformat eller flytande punktnummer som specificeras av IEEE-flytpunktstandarden ) .

Se även

Anteckningar

Referenser

Vidare läsning

  • Burkov, SE (1987). "Endimensionell modell av den kvasikristallina legeringen". Journal of Statistical Physics . 47 (3/4): 409438. Bibcode : 1987JSP .... 47..409B . doi : 10.1007/BF01007518 . S2CID  120281766 .
  • Burn, Bob (mars 1997). "81.15 Ett konfliktfall". Den matematiska tidningen . 81 (490): 109112. doi : 10.2307/3618786 . JSTOR  3618786 .
  • Calvert, JB; Tuttle, ER; Martin, Michael S .; Warren, Peter (februari 1981). "The Age of Newton: An Intensive Interdisciplinary Course". Historieläraren . 14 (2): 167190. doi : 10.2307/493261 . JSTOR  493261 .
  • Choi, Younggi; Do, Jonghoon (november 2005). "Jämställdhet involverad i 0,999 ... och (-8) 1/3". För matematikinlärning . 25 (3): 1315, 36. JSTOR  40248503 .
  • Choong, KY; Daykin, DE; Rathbone, CR (april 1971). "Rationella approximationer till ". Matematik i beräkning . 25 (114): 387392. doi : 10.2307/2004936 . JSTOR  2004936 .
  • Edwards, B. (1997). "En grundstudents förståelse och användning av matematiska definitioner i verklig analys". I Dossey, J .; Swafford, JO; Parmentier, M .; Dossey, AE (red.). Proceedings of the 19th Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education . 1 . Columbus, OH: ERIC Clearinghouse for Science, Mathematics and Environmental Education. s. 1722.
  • Eisenmann, Petr (2008). "Varför är det inte sant att 0,999 ... <1" (PDF) . Matematikundervisningen . 11 (1): 3540 . Hämtad 4 juli 2011 .
  • Ely, Robert (2010). "Icke -standardiserade studentuppfattningar om oändliga siffror". Journal for Research in Mathematics Education . 41 (2): 117146. doi : 10.5951/jresematheduc.41.2.0117 .
    Den här artikeln är en fältstudie som involverar en student som utvecklat en teori om oändliga siffror i Leibnizian-stil för att hjälpa henne att förstå kalkyl, och i synnerhet att redogöra för 0,999 ... som faller under 1 med en oändlig 0,000 ... 1.
  • Ferrini-Mundy, J .; Graham, K. (1994). Kaput, J .; Dubinsky, E. (red.). "Forskning i kalkylinlärning: Förståelse av gränser, derivat och integraler". MAA -anteckningar: Forskningsfrågor i grundläggande matematikinlärning . 33 : 3145.
  • Lewittes, Joseph (2006). "Midys sats för periodiska decimaler". arXiv : math.NT/0605182 .
  • Gardiner, Tony (juni 1985). "Oändliga processer i elementär matematik: Hur mycket ska vi berätta för barnen". Den matematiska tidningen . 69 (448): 7787. doi : 10.2307/3616921 . JSTOR  3616921 .
  • Monaghan, John (december 1988). "Verklig matematik: en aspekt av framtiden för A-nivå". Den matematiska tidningen . 72 (462): 276281. doi : 10.2307/3619940 . JSTOR  3619940 .
  • Navarro, Maria Angeles; Carreras, Pedro Pérez (2010). "Ett sokratiskt metodförslag för att studera jämlikhet 0.999 ... = 1" (PDF) . Matematikundervisningen . 13 (1): 1734 . Hämtad 4 juli 2011 .
  • Przenioslo, Malgorzata (mars 2004). "Bilder av funktionsgränsen som bildas under matematiska studier vid universitetet". Utbildningsstudier i matematik . 55 (13): 103132. doi : 10.1023/B: EDUC.0000017667.70982.05 . S2CID  120453706 .
  • Sandefur, James T. (februari 1996). "Använda självlikhet för att hitta längd, yta och dimension". The American Mathematical Monthly . 103 (2): 107120. doi : 10.2307/2975103 . JSTOR  2975103 .
  • Sierpiska, Anna (november 1987). "Humanistiska studenter och epistemologiska hinder relaterade till gränser". Utbildningsstudier i matematik . 18 (4): 371396. doi : 10.1007/BF00240986 . JSTOR  3482354 . S2CID  144880659 .
  • Szydlik, Jennifer Earles (maj 2000). "Matematiska övertygelser och begreppsmässig förståelse för en funktionsgräns". Journal for Research in Mathematics Education . 31 (3): 258276. doi : 10.2307/749807 . JSTOR  749807 .
  • Tall, David O. (2009). "Dynamisk matematik och blandning av kunskapsstrukturer i kalkylen". ZDM Matematikutbildning . 41 (4): 481492. doi : 10.1007/s11858-009-0192-6 . S2CID  14289039 .
  • Tall, David O. (maj 1981). "Intuitions of infinity". Matematik i skolan . 10 (3): 3033. JSTOR  30214290 .

externa länkar

Opiniones de nuestros usuarios

Dan Hjelm

Bra inlägg om 0,999 ....

David Knutsson

Det är alltid bra att lära sig. Tack för artikeln om 0,999 ....

Jennifer Lindqvist

Jag trodde att jag redan visste allt om 0,999 ..., men i den här artikeln har jag verifierat att vissa detaljer som jag tyckte var bra inte var så bra. Tack för informationen.

Henrik Torstensson

Språket ser gammalt ut, men informationen är tillförlitlig och i allmänhet ger allt som skrivs om 0,999 ... mycket självförtroende.