*



Alla kunskaper som människor har samlat på sig under århundradena om * finns nu tillgängliga på internet, och vi har sammanställt och ordnat dem för dig på ett så lättillgängligt sätt som möjligt. Vi vill att du snabbt och effektivt ska kunna få tillgång till allt du vill veta om *, att din upplevelse ska vara trevlig och att du ska känna att du verkligen har hittat den information om * som du sökte.

För att uppnå våra mål har vi ansträngt oss inte bara för att få fram den mest uppdaterade, begripliga och sanningsenliga informationen om *, utan vi har också sett till att designen, läsbarheten, laddningshastigheten och användbarheten på sidan är så trevlig som möjligt, så att du kan fokusera på det väsentliga, att känna till alla uppgifter och all information som finns om *, utan att behöva oroa dig för något annat, vi har redan tagit hand om det åt dig. Vi hoppas att vi har uppnått vårt syfte och att du har hittat den information du ville ha om *. Vi välkomnar dig och uppmuntrar dig att fortsätta att njuta av att använda scientiasv.com .

I matematik , och mer specifikt i abstrakt algebra , en * -algebra (eller involutive algebra är) en matematisk struktur bestående av två involutive ringarna R och A , där R är kommutativ och A har strukturen av en associativ algebra över R . Involutiva algebror generaliserar idén om ett talsystem utrustat med konjugering, till exempel komplexa tal och komplex konjugering , matriser över komplexa tal och konjugat transponera , och linjära operatorer över ett Hilbert-utrymme och Hermitian-gränser . Det kan dock hända att en algebra inte medger någon involvering alls.

Definitioner

*-ringa

I matematik är en * -ring en ring med en karta *: A A som är en antiautomorfism och en involution .

Mer exakt krävs * för att uppfylla följande egenskaper:

  • ( x + y ) * = x * + y *
  • ( x y ) * = y * x *
  • 1 * = 1
  • ( x *) * = x

för alla x , y i A .

Detta kallas också en involutiv ring , ofrivillig ring och ring med involution . Observera att det tredje axiomet faktiskt är överflödigt, eftersom det andra och fjärde axiomet innebär att 1 * också är en multiplikativ identitet och identiteter är unika.

Element så att x * = x kallas självanslutande .

Arketypiska exempel på en * -ring är fält med komplexa tal och algebraiska tal med komplex konjugation som involution. Man kan definiera en sesquilinear form över vilken * -ring som helst.

Man kan också definiera * -versioner av algebraiska objekt, som ideal och subring , med kravet att vara * - invariant : x I x * I och så vidare.

*-algebra

En * -algebra A är en * -ring, med involution * som är en associativ algebra över en kommutativ * rings R med involution ' , så att ( r x ) * = r' x * r R , x A .

Bas * -ringen R är ofta komplexa tal (med * som fungerar som komplex konjugering).

Det följer av axiomerna att * på A är konjugat-linjär i R , vilket betyder

( x + y ) * = x * + y *

för , | j, R , x , y A .

A * -homomorfism f  : A B är en algebrahomomorfism som är kompatibel med involveringarna i A och B , dvs

  • f ( a *) = f ( a ) * för alla a i A .

Filosofin om * -operationen

* -Operationen på en * -ring är analog med komplex konjugering på komplexa tal. * -Operationen på en * -algebra är analog med att ta angränsningar i komplexa matrisalgebraer .

Notation

* Involutionen är en unary operation skriven med en efterfixerad stjärnglyph centrerad över eller nära medelraden :

x x * , eller
x x * ( TeX :x^*),

men inte som " x "; se asteriskartikeln för mer information.

Exempel

Involutiva Hopf-algebraer är viktiga exempel på * -algebror (med den extra strukturen för en kompatibel comultiplication ); det mest kända exemplet är:

Icke-exempel

Inte varje algebra medger en involvering:

Betrakta 2 × 2- matriserna över de komplexa siffrorna. Tänk på följande subalgebra:

Varje icke-privat antiautomorfism har nödvändigtvis formen:

för alla komplexa nummer .

Härav följer att varje icke-privat antiautomorfism misslyckas med att vara idempotent:

Slutsatsen att subalgebra medger ingen involution.

Ytterligare strukturer

Många egenskaper hos transponeringshållet för allmänna * -algebror:

  • De Hermitska elementen bildar en Jordan algebra ;
  • De skeva Hermitiska elementen bildar en Lie-algebra ;
  • Om 2 är inverterbar i * -ringen, så är operatörerna 1/2(1 + *) och1/2(1 - *) är ortogonala idempotenter , kallade symmetrizing och anti-symmetrizing , så algebra sönderdelas som en direkt summa av moduler ( vektorrymden om * -ringen är ett fält) av symmetrisk och antisymmetrisk (Hermitian och skev Hermitian) element. Dessa utrymmen bildar i allmänhet inte associerande algebraer, eftersom idempotenterna är operatorer , inte element i algebra.

Skeva strukturer

Med en * -ring finns också kartan - *: x - x * . Den definierar inte en * -ringstruktur (såvida inte karakteristiken är 2, i vilket fall - * är identisk med originalet *), som 1 1 , inte heller är den antimultiplikativ, men den uppfyller de andra axiomen (linjär, involution ) och är därför ganska lik * -algebra där x x * .

Element som fixeras av denna karta (dvs. så att a = - a * ) kallas skev Hermitian .

För de komplexa siffrorna med komplexa konjugering är de verkliga siffrorna Hermitian-elementen och de imaginära siffrorna är den skeva Hermitian.

Se även

Anteckningar

Referenser

Opiniones de nuestros usuarios

Matilda Wiberg

Inlägget om * har varit mycket användbart för mig.

Lisbeth Sandberg

Jag blev glad över att hitta den här artikeln om *.

Nils Eklund

Språket ser gammalt ut, men informationen är tillförlitlig och i allmänhet ger allt som skrivs om * mycket självförtroende.

Christina öhman

Äntligen en artikel om * som är lättläst.