( , )



Alla kunskaper som människor har samlat på sig under århundradena om ( , ) finns nu tillgängliga på internet, och vi har sammanställt och ordnat dem för dig på ett så lättillgängligt sätt som möjligt. Vi vill att du snabbt och effektivt ska kunna få tillgång till allt du vill veta om ( , ), att din upplevelse ska vara trevlig och att du ska känna att du verkligen har hittat den information om ( , ) som du sökte.

För att uppnå våra mål har vi ansträngt oss inte bara för att få fram den mest uppdaterade, begripliga och sanningsenliga informationen om ( , ), utan vi har också sett till att designen, läsbarheten, laddningshastigheten och användbarheten på sidan är så trevlig som möjligt, så att du kan fokusera på det väsentliga, att känna till alla uppgifter och all information som finns om ( , ), utan att behöva oroa dig för något annat, vi har redan tagit hand om det åt dig. Vi hoppas att vi har uppnått vårt syfte och att du har hittat den information du ville ha om ( , ). Vi välkomnar dig och uppmuntrar dig att fortsätta att njuta av att använda scientiasv.com .

I kalkyl är ( ) -definitionen av gräns (" epsilon - delta definition av gräns") en formalisering av begreppet gräns . Konceptet beror på Augustin-Louis Cauchy , som aldrig gav en formell ( , ) definition av gräns i sin Cours d'Analyse , men ibland använde , - argument i bevis. Det gavs först som en formell definition av Bernard Bolzano 1817, och det definitiva moderna uttalandet tillhandahölls slutligen av Karl Weierstrass. Det ger noggrannhet för följande informella uppfattning: det beroende uttrycket f ( x ) närmar sig värdet L när variabeln x närmar sig värdet c om f ( x ) kan göras så nära L som önskas genom att ta x tillräckligt nära c .

Historia

Även om grekerna undersökte begränsande processer, som den babyloniska metoden , hade de förmodligen inget koncept som liknade den moderna gränsen. Behovet av begreppet gräns uppstod på 1600-talet, när Pierre de Fermat försökte hitta lutningentangentlinjen vid en punkt i diagrammet för en funktion som . Med en icke-noll men nästan noll kvantitet utförde Fermat följande beräkning:

Nyckeln till ovanstående beräkning är att eftersom det inte är noll kan man dela med , men eftersom det är nära 0, är det väsentligen . Mängder som kallas oändligt stora . Problemet med denna beräkning är att tidens matematiker inte kunde strikt definiera en kvantitet med egenskaper av , även om det var vanligt att 'försumma' oändliga djur med högre effekt och detta tycktes ge korrekta resultat.

Detta problem dök upp igen senare på 1600-talet i mitten av utvecklingen av kalkyl , där beräkningar som Fermats är viktiga för beräkningen av derivat . Isaac Newton utvecklade först kalkylen via en oändlig mängd som kallas fluxion . Han utvecklade dem med hänvisning till idén om ett "oändligt litet ögonblick i tiden ..." Newton avvisade senare senare flöden till förmån för en teori om förhållanden som ligger nära den moderna definitionen av gränsen. Dessutom var Newton medveten om att gränsen för förhållandet mellan försvinnande kvantiteter inte i sig var ett förhållande, som han skrev:

Dessa ultimata förhållanden ... är egentligen inte förhållanden mellan slutliga kvantiteter, men gränser ... som de kan närma sig så nära att deras skillnad är mindre än någon viss mängd ...

Dessutom förklarade Newton ibland gränser i termer som liknar definitionen epsilon-delta. Gottfried Wilhelm Leibniz utvecklade ett eget oändligt stort och försökte ge det en strikt grund, men det hälsades fortfarande obehagligt av vissa matematiker och filosofer.

Augustin-Louis Cauchy gav en definition av gräns i termer av en mer primitiv uppfattning som han kallade en variabel kvantitet . Han gav aldrig en epsilon delta definition av limit (Grabiner 1981). Några av Cauchys bevis innehåller indikationer på metoden epsilon delta. Huruvida hans grundläggande tillvägagångssätt kan betraktas som en förbud för Weierstrass är ett ämne för vetenskaplig tvist. Grabiner känner att det är, medan Schubring (2005) inte håller med. Nakane drar slutsatsen att Cauchy och Weierstrass gav samma namn till olika begrepp om gräns.

Så småningom krediteras Weierstrass och Bolzano för att tillhandahålla en strikt grund för kalkyl, i form av den moderna definitionen av gränsen. Behovet av referens till ett oändligt minimum togs sedan bort och Fermats beräkning blev till beräkning av följande gräns:

Detta är inte att säga att den begränsande definitionen var fri från problem, även om det tog bort behovet av oändliga djur, men det krävde konstruktionen av de verkliga siffrorna av Richard Dedekind . Detta betyder inte heller att oändliga djur inte har någon plats i modern matematik, eftersom senare matematiker noggrant kunde skapa oändliga mängder som en del av det hyperrealistiska talet eller det surrealistiska talsystemet. Dessutom är det möjligt att rigoröst utveckla kalkyl med dessa kvantiteter och de har andra matematiska användningsområden.

Informellt uttalande

En livskraftig informell (det vill säga intuitiv eller provisorisk) definition är att en " funktion f närmar sig gränsen L nära a (symboliskt ) om den kan göras f ( x ) godtyckligt nära L genom att kräva att x är tillräckligt nära, men ojämlikt med, a . "

Att säga att två saker är nära (som f ( x ) och L eller x och a ) betyder att skillnaden (eller avståndet ) mellan dem är liten. När f ( x ) , L , x och a är reella tal är skillnaden / avståndet mellan två tal det absoluta värdetskillnaden mellan de två. Att säga f ( x ) är så nära L betyder att | f ( x ) - L | är liten. Att säga att x och a är nära betyder att | x - a | är liten.

Att säga att f ( x ) kan göras godtyckligt nära L betyder att för alla avstånd som inte är noll, kan avståndet mellan f ( x ) och L göras mindre än .

Säger att f ( x ) kan göras godtyckligt nära L genom att kräva att x är tillräckligt nära, men, skild från, en , medel att för varje icke-noll distans , det finns vissa icke-noll distans så att om avståndet mellan x och a är mindre än då är avståndet mellan f ( x ) och L mindre än .

Den informella / intuitiva aspekten som ska förstås här är att definitionen kräver följande interna konversation (som vanligtvis omformuleras av ett sådant språk som "din fiende / motståndare attackerar dig med en , och du försvarar / skyddar dig med en "): en är försedd med alla utmaningar > 0 för en given f , en , och L . Man måste svara med en > 0 så att 0 <| x - a | < innebär att | f ( x ) - L | < . Om man kan ge svar på någon utmaning, har man bevisat att gränsen finns.

Exakt uttalande och relaterade uttalanden

Exakt uttalande för verkligt värderade funktioner

Den definition av gränsen för en funktion är som följer:

Låta vara en verkligt värderad funktion definierad i en delmängd av de verkliga siffrorna . Låt vara en gränspunkt för och låt vara ett verkligt antal. Sedan

om för varje finns en sådan som för alla , om , då .

Symboliskt:

Om eller kan villkoret som är en gränspunkt ersättas med det enklare villkoret att c tillhör D , eftersom slutna riktiga intervall och hela den verkliga linjen är perfekta uppsättningar .

Exakt uttalande för funktioner mellan metriska utrymmen

Definitionen kan generaliseras till funktioner som kartlägger mellan metriska utrymmen . Dessa utrymmen har en funktion, som kallas ett mått, som tar två punkter i utrymmet och returnerar ett reellt tal som representerar avståndet mellan de två punkterna. Den generaliserade definitionen är som följer:

Antag att definieras på en delmängd av ett metrisk utrymme med ett mått och mappar till ett metrisk utrymme med ett mått . Låt vara en gränspunkt för och låt vara en punkt av . Sedan

om för varje finns det en sådan som för alla , om , då .

Eftersom det är ett mått på de verkliga siffrorna kan man visa att denna definition generaliserar den första definitionen för verkliga funktioner.

Negation av det exakta uttalandet

Den logiska negationen av definitionen är som följer:

Antag att definieras på en delmängd av ett metrisk utrymme med ett mått och mappar till ett metrisk utrymme med ett mått . Låt vara en gränspunkt för och låt vara en punkt av . Sedan

om det finns en sådan att för alla finns en sådan att och . Då inte existerar om för alla , .

För att förneka en verklig värderad funktion definierad på de verkliga siffrorna, ställ in helt enkelt .

Exakt uttalande för gränser vid oändligheten

Det exakta uttalandet för gränser vid oändligheten är som följer:

Antag att det är verkligt värderat som definieras i en delmängd av de verkliga siffrorna som innehåller godtyckligt stora värden. Sedan

om för varje finns det ett verkligt antal så att för alla , om då .

Det är också möjligt att ge en definition i allmänna metriska utrymmen.

Ensidiga gränser

Standarddefinitionen tillåter inte att definiera gränser vid punkter av diskontinuitet. För detta är ensidiga gränser användbara. Gränsen "från höger" definieras formellt som

och gränsen "från vänster" som

Arbetade exempel

Exempel 1

Det kommer att visas att

.

Givet ett behövs så att innebär .

Eftersom sinus begränsas ovan av 1 och under av 1,

Således tas, antyder sedan , vilket kompletterar beviset.

Exempel 2

Påståendet

kommer att bevisas för valfritt antal .

Givet är . En kommer att hittas sådan som antyder .

Börjar med factoring

termen begränsas av så att en gräns på 1 kan antas, och senare kan något mindre än det plockas för .

Så det antas att . Eftersom har i allmänhet för reella tal och ,

Således

Således via triangel ojämlikhet ,

Således, om det vidare antas att

sedan

Sammanfattningsvis är inställd.

Så, om , då

Således finns ett sådant som antyder . Således visas det

för alla verkliga nummer .

Exempel 3

Påståendet

kommer att bevisas.

Detta visas enkelt genom grafisk förståelse av gränsen och tjänar som sådan en stark grund för introduktion till bevis. Enligt den formella definitionen ovan är en gränsanvisning korrekt om och endast om begränsning till enheter av oundvikligen begränsas till enheter av . I det här specifika fallet betyder detta att påståendet är sant om och endast om begränsning till enheter om 5 oundvikligen kommer att begränsa

till enheter om 12. Den övergripande nyckeln till att visa denna implikation är att visa hur och måste relateras till varandra så att implikationen håller. Matematiskt kommer det att visas att

Att förenkla, faktorisera och dela 3 på höger sida av implikationen ger avkastning

vilket omedelbart ger det erforderliga resultatet om

är vald.

Således är beviset slutfört. Nyckeln till beviset ligger i förmågan hos en att välja gränser i , och sedan avsluta motsvarande gränser i , som i detta fall var relaterade till en faktor 3, vilket helt beror på lutningen på 3 i linjen

Kontinuitet

En funktion f sägs vara kontinuerlig vid c om den både definieras vid c och dess värde vid c är lika med gränsen för f när x närmar sig c :

Den definition för en kontinuerlig funktion kan erhållas från definitionen av en gräns genom att ersätta med , för att säkerställa att f definieras vid c och är lika med gränsen.

En funktion f sägs vara kontinuerlig på ett intervall I om det är kontinuerlig vid varje punkt c av I .

Jämförelse med oändlig definition

Keisler bevisade att en hyperreal definition av gräns minskar den logiska kvantifierarkomplexiteten med två kvantifierare. Konverterar nämligen till en gräns L som tenderar till en om och endast om värdet är oändligt nära L för varje oändligt stort e . (Se Microcontinuity för en relaterad definition av kontinuitet, huvudsakligen på grund av Cauchy .)

Infinitesimal kalkylböcker baserade på Robinsons tillvägagångssätt ger definitioner av kontinuitet, derivat och integral vid standardpunkter när det gäller oändliga siffror. När begrepp som kontinuitet har förklarats grundligt via metoden med hjälp av mikrokontinuitet presenteras också epsilon delta-metoden. Karel Hrbáek hävdar att definitionerna av kontinuitet, derivat och integration i icke-standardanalys i Robinson-stil måste grundas i - - metoden för att även täcka icke-standardvärden för ingången. Baszczyk et al. hävdar att mikrokontinuitet är användbar för att utveckla en transparent definition av enhetlig kontinuitet, och karakterisera kritiken från Hrbáek som ett "tvivelaktigt klagomål". Hrbáek föreslår en alternativ icke-standardanalys, som (till skillnad från Robinsons) har många "nivåer" av infinitesimals, så att gränser på en nivå kan definieras i termer av infinitesimals på nästa nivå.

Familj med formella gränsdefinitioner

Det finns inte en enda definition av gräns - det finns en hel familj av definitioner. Detta beror på närvaron av oändligheten och begreppet gränser "från höger" och "från vänster". Själva gränsen kan vara ett begränsat värde , eller . Värdet som närmar sig kan också vara ett ändligt värde, eller , och om det är ett ändligt värde kan det nås från vänster eller höger. Vanligtvis ges varje kombination sin egen definition, så här:

Notation Def. Exempel

Se även

Referenser

Vidare läsning


Opiniones de nuestros usuarios

Filip Hedström

Jag vet inte hur jag kom till den här ( , )-artikeln, men jag gillade den verkligen.

Tove östlund

Språket ser gammalt ut, men informationen är tillförlitlig och i allmänhet ger allt som skrivs om ( , ) mycket självförtroende.

Nina österberg

Bra upptäckt den här artikeln om ( , ) och hela sidan. Den går direkt till favoriter.

Diana Dahlgren

Det är en bra artikel om ( , ). Den ger nödvändig information, utan överdrifter.

Johnny Jacobsson

Det var ett tag sedan jag såg en artikel om _variabel skriven på ett så didaktiskt sätt. Jag gillar det.